В геометрии теорема Лежандра о сферических треугольниках , названная в честь Адриана- Мари Лежандра , формулируется следующим образом:
Пусть ABC — сферический треугольник на единичной сфере с малыми сторонами a , b , c . Пусть A'B'C' — плоский треугольник с одинаковыми сторонами. Тогда углы сферического треугольника превышают соответствующие углы плоского треугольника примерно на треть сферического избытка (сферический избыток — это величина, на которую сумма трёх углов превышает π ).
Теорема сыграла очень важную роль в упрощении тяжелой числовой работы при расчете результатов традиционных (до GPS и до компьютеров) геодезических съемок примерно с 1800 года до середины двадцатого века.
Теорема была сформулирована Лежандром (1787), который предоставил доказательство [1] в приложении к отчету об измерении французской меридиональной дуги, используемой в определении метра . [2] Лежандр не утверждает, что он был автором теоремы, несмотря на приписывание ему этой теоремы. Тропфке (1903) утверждает, что этот метод широко использовался геодезистами в то время и, возможно, был использован еще в 1740 году Ла Кондамином для расчета перуанской меридиональной дуги . [3]
Теорема Жирара утверждает, что сферический избыток треугольника E равен его площади Δ, и поэтому теорему Лежандра можно записать как
Избыток или площадь маленьких треугольников очень мала. Например, рассмотрим равносторонний сферический треугольник со сторонами 60 км на сферической Земле радиусом 6371 км; сторона соответствует угловому расстоянию 60/6371 = 0,0094, или примерно 10 -2 радиан (стягивая угол 0,57 ° в центре). Площадь такого маленького треугольника хорошо аппроксимируется площадью плоского равностороннего треугольника с теми же сторонами: = 0,0000433 радиана, что соответствует 8,9 дюймам.
При длинах сторон треугольников, превышающих 180 км, для которых превышение составляет около 80″, отношения между площадями и разности углов необходимо корректировать членами четвертого порядка по сторонам, составляющими не более 0,01″:
( — площадь плоского треугольника.) Этот результат доказал Бузенгейгер (1818). [4]
Теорему можно распространить на эллипсоид, если , , вычисляются путем деления истинных длин на квадратный корень из произведения главных радиусов кривизны [5] на средней широте вершин (вместо сферического радиуса). Гаусс привел более точные формулы. [6]
Рекомендации
^ Лежандр (1798).
^ Деламбр (1798).
^ Тропфке (1903).
^ Бузенгейгер (1818). Расширенное доказательство можно найти у Осборна (2013) (Приложение D13). Другие результаты получены Надеником (2004).
^ См. Осборн (2013), глава 5.
^ Гаусс (1828), Ст. 26–28.
Библиография
Бюзенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1818), «Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist», Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften , 6 : 264–270
Кларк, Александр Росс (1880), геодезия, Clarendon Press
Деламбр, Жан-Батист (1798), Аналитические методы для определения дуги меридиена, Дюпра, doi : 10.3931/E-RARA-1836 - через библиотеку ETH Zürich
Гаусс, К.Ф. (1902) [1828], Общие исследования искривленных поверхностей 1827 и 1825 годов, Princeton Univ. Либ; Английский перевод Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas (Дитерих, Геттинген, 1828 г.).
Лежандр, Адриен-Мари (1787), «Мемуар о тригонометрических операциях, не результаты, зависящие от фигуры Земли», стр. 7 (Статья VI [1])
Лежандр, Адриен-Мари (1798), «Метод определения длины точного кварта дю меридиена д'апре ле наблюдений за мерой дуги, состоящей из Дюнкерка и Барселоны», стр. 12–14 (Примечание III [2])
Наденик, Збинек (2004), Теорема Лежандра о сферических треугольниках (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 16 января 2014 г.
Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора, заархивировано из оригинала 24 сентября 2013 г.
Тропфке, Йоханнес (1903), Geschichte der Elementar-Mathematik (Том 2)., Verlag von Veit, стр. 295