Теорема Лэнга

В алгебраической геометрии теорема Лэнга , введенная Сержем Лэнгом , гласит: если G — связная гладкая алгебраическая группа над конечным полем , то, записывая для Фробениуса, морфизм многообразий ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

является сюръективным. Обратите внимание, что ядро ​​этого отображения (т.е. ) — это именно . ${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$ ${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$

Из теоремы следует, что   обращается в нуль, ^[1] и, следовательно, любое G -расслоение на изоморфно тривиальному. Также теорема играет фундаментальную роль в теории конечных групп лиева типа . ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$

Не обязательно, чтобы G был аффинным. Таким образом, теорема применима также к абелевым многообразиям (например, эллиптическим кривым ). Фактически, это приложение было изначальной мотивацией Лэнга. Если G аффинен, то Фробениус можно заменить любым сюръективным отображением с конечным числом неподвижных точек (точную формулировку см. ниже). ${\displaystyle \sigma }$

Доказательство (приведенное ниже) на самом деле проходит для любого оператора , который индуцирует нильпотентный оператор на алгебре Ли группы G. [ ^2] ${\displaystyle \sigma }$

Теорема Лэнга–Стайнберга

Штейнберг  (1968) внес полезное усовершенствование в теорему.

Предположим, что F — эндоморфизм алгебраической группы G. Отображение Лэнга — это отображение из G в G, переводящее g в g ⁻ 1F ( g ).

Теорема Лэнга –Стайнберга утверждает ^[3] , что если F сюръективно и имеет конечное число неподвижных точек, а G — связная аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем, то отображение Лэнга сюръективно.

Доказательство теоремы Лэнга

Определять:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

Тогда (отождествляя касательное пространство в точке a с касательным пространством в единичном элементе) имеем:

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

где . Отсюда следует, что является биективным , поскольку дифференциал Фробениуса равен нулю. Поскольку , мы также видим, что является биективным для любого b . ^[4] Пусть X будет замыканием образа . Гладкие точки X образуют открытое плотное подмножество; таким образом, существует некоторый b в G такой, что является гладкой точкой X . Поскольку касательное пространство к X в точке и касательное пространство к G в точке b имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что X и G имеют одинаковую размерность, поскольку G является гладким. Поскольку G связен, образ тогда содержит открытое плотное подмножество U из G . Теперь, если задан произвольный элемент a из G , по тем же рассуждениям, образ содержит открытое плотное подмножество V из G . Тогда пересечение непусто, но это означает, что a находится в образе . ${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$ ${\displaystyle (df_{a})_{e}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$ ${\displaystyle (df_{a})_{b}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}(b)}$ ${\displaystyle f_{1}(b)}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f_{1}}$

Примечания

1. Это «определение раскручивания». Здесь — когомологии Галуа ; см. Milne, Class field theory. ${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H^{1}(\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}),G({\overline {\mathbf {F} _{q}}}))}$
2. Springer 1998, Упражнение 4.4.18.
3. Штейнберг 1968, Теорема 10.1
4. Это подразумевает, что это étale . ${\displaystyle f_{a}}$

Ссылки

• Springer, TA (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5. OCLC  38179868.
• Ланг, Серж (1956), «Алгебраические группы над конечными полями», American Journal of Mathematics , 78 : 555–563, doi : 10.2307/2372673, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372673, MR  0086367
• Стейнберг, Роберт (1968), Эндоморфизмы линейных алгебраических групп, Мемуары Американского математического общества, № 80, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0230728