Теорема Мальгранжа – Эренпрайса

В математике теорема Мальгранжа-Эренпрейса утверждает, что каждый ненулевой линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . Впервые это было независимо доказано Леоном Эренпрейсом  (1954, 1955) и Бернаром Мальгранжем  (1955–1956).

Это означает, что дифференциальное уравнение

${\displaystyle P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ),}$

где – полином от нескольких переменных, – дельта-функция Дирака , имеет распределительное решение . Его можно использовать, чтобы показать, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$

имеет решение для любого компактно поддерживаемого дистрибутива . Решение в целом не единственное. ${\displaystyle f}$

Аналог для дифференциальных операторов, коэффициенты которых являются полиномами (а не константами), неверен: см. пример Леви .

Доказательства

Оригинальные доказательства Мальгранжа и Эренпрейса были неконструктивными, поскольку они использовали теорему Хана-Банаха . С тех пор было найдено несколько конструктивных доказательств.

Существует очень короткое доказательство с использованием преобразования Фурье и полинома Бернштейна – Сато следующим образом. Используя преобразования Фурье, теорема Мальгранжа-Эренпрейса эквивалентна тому факту, что каждый ненулевой полином имеет обратное распределение. Заменив произведение на его комплексно-сопряженное произведение, можно также предположить, что оно неотрицательно. Для неотрицательных полиномов существование обратного распределения следует из существования полинома Бернштейна – Сато, из которого следует, что его можно аналитически продолжить как мероморфную функцию со значениями распределения комплексной переменной ; постоянный член разложения Лорана at тогда является распределением, обратным . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle P^{s}}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle P}$

Другие доказательства, часто дающие лучшие оценки роста решения, приведены в (Hörmander 1983a, теорема 7.3.10), (Reed & Simon 1975, теорема IX.23, стр. 48) и (Rosay 1991). (Хёрмандер 1983b, глава 10) подробно обсуждает свойства регулярности фундаментальных решений.

Краткое конструктивное доказательство было представлено в (Wagner 2009, Proposition 1, p. 458):

${\displaystyle E={\frac {1}{\overline {P_{m}(2\eta )}}}\sum _{j=0}^{m}a_{j}e^{\lambda _{j}\eta x}{\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}\left({\frac {\overline {P(i\xi +\lambda _{j}\eta )}}{P(i\xi +\lambda _{j}\eta )}}\right)}$

является фундаментальным решением , т.е. , если является главной частью , при , действительные числа попарно различны, и ${\displaystyle P(\partial )}$ ${\displaystyle P(\partial )E=\delta }$ ${\displaystyle P_{m}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \eta \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P_{m}(\eta )\neq 0}$ ${\displaystyle \lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}}$

${\displaystyle a_{j}=\prod _{k=0,k\neq j}^{m}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{-1}.}$

Рекомендации

• Эренпрейс, Леон (1954), «Решение некоторых проблем деления. I. Деление полиномом вывода»., Amer. Дж. Математика. , 76 (4): 883–903, номер документа : 10.2307/2372662, JSTOR  2372662, MR  0068123.
• Эренпрейс, Леон (1955), «Решение некоторых проблем деления. II. Деление точечным распределением», амер. Дж. Математика. , 77 (2): 286–292, номер документа : 10.2307/2372532, JSTOR  2372532, MR  0070048.
• Хёрмандер, Л. (1983a), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 978-3-540-12104-6, МР  0717035
• Хёрмандер, Л. (1983b), Анализ линейных операторов в частных производных II , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 257, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 978-3-540-12139-8, МР  0705278
• Мальгранж, Бернар (1955–1956), «Существование и приближение решений des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution», Annales de l'Institut Fourier , 6 : 271–355, doi : 10.5802/aif.65 , MR  0086990
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Харкорт Брейс Йованович, Издательство, стр. xv+361, ISBN 978-0-12-585002-5, МР  0493420
• Розай, Жан-Пьер (1991), «Очень элементарное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса», Amer. Математика. Ежемесячно , 98 (6): 518–523, номер номера : 10.2307/2324871, JSTOR  2324871, MR  1109574.
• Розай, Жан-Пьер (2001) [1994], «Теорема Мальгранжа – Эренпрейса», Энциклопедия математики , EMS Press
• Вагнер, Питер (2009), «Новое конструктивное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрайса», Amer. Математика. Ежемесячно , 116 (5): 457–462, CiteSeerX  10.1.1.488.6651 , doi : 10.4169/193009709X470362, MR  2510844.