Теорема Моцкина–Таусского

Теорема о линейных операторах

Теорема Моцкина–Таусского является результатом теории операторов и матриц о представлении суммы двух ограниченных линейных операторов (соответственно матриц). Теорема была доказана Теодором Моцкиным и Ольгой Таусской-Тодд . ^[1]

Теорема используется в теории возмущений , где, например, операторы вида

${\displaystyle T+xT_{1}}$

проверяются.

Заявление

Пусть будет конечномерным комплексным векторным пространством . Кроме того, пусть будет таким, что все линейные комбинации ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in B(X)}$

${\displaystyle T=\alpha A+\beta B}$

диагонализируемы для всех . Тогда все собственные значения имеют вид ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lambda _{T}=\alpha \lambda _{A}+\beta \lambda _{B}}$

(т.е. они линейны по und ) и не зависят от выбора . ^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

Здесь обозначает собственное значение . ${\displaystyle \lambda _{A}}$ ${\displaystyle A}$

Комментарии

• Моцкин и Таусский называют указанное выше свойство линейности собственных значений свойством L. ^[3] ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

Библиография

• Като, Тосио (1995). Теория возмущений для линейных операторов. Классика математики. Т. 132 (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 86. doi :10.1007/978-3-642-66282-9. ISBN 978-3-540-58661-6. 
• Фридланд, Шмуэль (1981). «Обобщение теоремы Моцкина-Таусского». Линейная алгебра и ее приложения . 36 : 103–109. doi : 10.1016/0024-3795(81)90223-8 . 

Примечания

1. Motzkin, TS; Taussky, Olga (1952). «Пары матриц со свойством L». Transactions of the American Mathematical Society . 73 (1): 108–114. doi : 10.2307 /1990825. JSTOR  1990825. PMC 1063886. PMID  16589359. 
2. Като, Тосио (1995). Теория возмущений для линейных операторов. Классика математики. Т. 132 (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer. С. 86. doi :10.1007/978-3-642-66282-9. ISBN 978-3-540-58661-6.
3. Motzkin, TS; Taussky, Olga (1955). "Пары матриц со свойством L. II". Transactions of the American Mathematical Society . 80 (2): 387–401. doi :10.2307/1992996. ISSN  0002-9947. JSTOR  1992996.