В математике теорема О'Нэна-Скотта является одной из самых влиятельных теорем теории групп перестановок ; классификация конечных простых групп делает ее такой полезной. Первоначально теорема касалась максимальных подгрупп симметрической группы . Он появился как приложение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции по конечным группам в Санта-Крусе в 1979 году, со сноской о том, что Майкл О'Нан независимо доказал тот же результат. [1] Позже Майкл Ашбахер и Скотт дали исправленную версию утверждения теоремы. [2]
Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы Sym(Ω), где |Ω| = n , является одним из следующих:
В обзорной статье, написанной для Бюллетеня Лондонского математического общества , Питер Дж. Кэмерон, кажется, был первым, кто осознал, что реальная сила теоремы О'Нэна-Скотта заключается в способности разбивать конечные примитивные группы на различные типы. [3] Полную версию теоремы с самостоятельным доказательством дали М.В. Либек , Шерил Прегер и Ян Саксл . [4] Эта теорема теперь является стандартной частью учебников по группам перестановок. [5]
Восемь типов О'Нана – Скотта конечных примитивных групп подстановок следующие:
HA (голоморф абелевой группы): это примитивные группы, которые являются подгруппами аффинной общей линейной группы AGL( d , p ) для некоторого простого числа p и положительного целого числа d ≥ 1. Чтобы такая группа G была примитивной, она должна содержать подгруппу всех трансляций, а стабилизатор G0 в G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой GL( d,p ). Примитивные группы типа HA характеризуются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарной абелевой и действует регулярно.
HS (голоморф простой группы): Пусть T — конечная неабелева простая группа. Тогда M = T × T действует на Ω = T посредством t ( t 1 , t 2 ) знак равно t 1 −1 tt 2 . Теперь M имеет две минимальные нормальные подгруппы N 1 , N 2 , каждая из которых изоморфна T и каждая действует регулярно на Ω: одна умножением справа, а другая - умножением слева. Действие M примитивно, и если мы возьмем α = 1 T, то получим M α = {( t , t )| t ∈ T }, который включает Inn( T ) на Ω. Фактически любой автоморфизм T будет действовать на Ω. Тогда примитивной группой типа HS является любая группа G такая, что M ≅ T .Inn( T ) ⩽ G ⩽ T .Aut( T ). Все такие группы имеют N 1 и N 2 как минимальные нормальные подгруппы.
HC (голоморф составной группы). Пусть T — неабелева простая группа и N 1 ≅ N 2 ≅ T k для некоторого целого числа k ≥ 2. Пусть Ω = T k . Тогда M = N 1 × N 2 действует транзитивно на Ω через x ( n 1 , n 2 ) = n 1 −1 xn 2 для всех x ∈ Ω, n 1 ∈ N 1 , n 2 ∈ N 2 . Как и в случае HS, M ≅ Tk.Inn ( Tk ) и любой автоморфизм Tk также действует на Ω. Примитивной группой типа HC называется группа G такая, что M ⩽ G ⩽ T k .Aut( T k ) и G индуцирует подгруппу группы Aut( T k ) = Aut( T )wr S k , действующую транзитивно на множестве k простых прямых факторов T k . Любая такая группа G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая из которых изоморфна T k и регулярна.
Группа типа HC сохраняет структуру произведения Ω = ∆k, где ∆ = T и G ⩽ H wr S k , где H — примитивная группа типа HS на ∆.
TW (скрученный венок): Здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и N ≅ T k для некоторой конечной неабелевой простой группы T и N действует регулярно на Ω. Такие группы могут быть построены как скрученные сплетения и, следовательно, обозначены меткой TW. Условия, необходимые для получения примитивности, подразумевают, что k ≥ 6, поэтому наименьшая степень такой примитивной группы равна 60 6 .
AS (почти просто): Здесь G — группа, лежащая между T и Aut( T ), то есть G — почти простая группа, отсюда и название. Нам ничего не говорят о том, что это за действие, кроме того, что оно примитивно. Анализ этого типа требует знания о возможных примитивных действиях почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.
SD (простая диагональ): пусть N = T k для некоторой неабелевой простой группы T и целого числа k ≥ 2, и пусть H = {( t,...,t )| т ∈ Т } ≤ N . Тогда N действует на множестве правых смежных классов H в N умножением справа. Мы можем взять {( t 1 ,..., t k −1 , 1)| t i ∈ T } будет набором представителей смежных классов для H в N , и поэтому мы можем отождествить Ω с T k −1 . Теперь ( s 1 ,..., s k ) ∈ N переводит смежный класс с представителем ( t 1 ,..., t k −1 , 1) в смежный класс H ( t 1 s 1 ,..., t k -1 s k -1 , s k ) знак равно ЧАС ( s k -1 т k s 1 ,..., s k -1 т k -1 s k -1 , 1). Группа S k индуцирует автоморфизмы N путем перестановки элементов и фиксирует подгруппу H и, таким образом, действует на множестве Ω. Также обратите внимание, что H действует на Ω, индуцируя Inn( T ), и фактически любой автоморфизм σ T действует на Ω, переводя смежный класс с представителем ( t 1 ,..., t k −1 , 1) в смежный класс с представитель ( t 1 σ ,..., t k −1 σ , 1). Таким образом, мы получаем группу W = N .(Out( T ) × S k ) ⩽ Sym(Ω). Примитивной группой типа SD называется группа G ≤ W такая, что N ◅ G и G индуцирует примитивную подгруппу в S k на k простых прямых факторах группы N .
CD (составная диагональ): здесь Ω = ∆ k и G ⩽ H wr S k , где H — примитивная группа типа SD на ∆ с минимальной нормальной подгруппой T l . Более того, N = T kl — минимальная нормальная подгруппа группы G , а G индуцирует транзитивную подгруппу группы S k .
PA (действие произведения): Здесь Ω = Δ k и G ≤ H wr S k , где H — примитивная почти простая группа на Δ с цоколем T . Таким образом , G имеет действие произведения на Ω. Более того, N = Tk ◅ G и G индуцирует транзитивную подгруппу группы S k при ее действии на k простых прямых факторов группы N.
Некоторые авторы используют разные подразделения типов. Наиболее распространенным является объединение типов HS и SD как «диагональный тип», а типов HC, CD и PA вместе как «тип действия-произведения». [6] Позднее Прегер обобщил теорему О'Нэна-Скотта на квазипримитивные группы ( группы с точными действиями, ограничение на каждую нетривиальную нормальную подгруппу транзитивно [7] .