Вложение Куратовского

В математике вложение Куратовского позволяет рассматривать любое метрическое пространство как подмножество некоторого банахова пространства . Оно названо в честь Казимира Куратовского .

Утверждение, очевидно, справедливо для пустого пространства. Если ( _X , d ) — метрическое пространство, x0 _— точка в X , а Cb ( X ) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывных вещественных функций на X с супремум-нормой , то отображение

${\displaystyle \Phi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

определяется

${\displaystyle \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

является изометрией . ^[1]

Приведенную выше конструкцию можно рассматривать как вложение точечного метрического пространства в банахово пространство.

Теорема Куратовского–Войдыславского утверждает, что каждое ограниченное метрическое пространство X изометрично замкнутому подмножеству выпуклого подмножества некоторого банахова пространства. ^[2] (Примечание: образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, а не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию

${\displaystyle \Psi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

определяется

${\displaystyle \Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

Выпуклое множество, упомянутое выше, является выпуклой оболочкой Ψ( X ).

В обеих этих теоремах вложения мы можем заменить C _b ( X ) на банахово пространство ℓ  ^∞ ( X ) всех ограниченных функций X → R , снова с супремум-нормой, поскольку C _b ( X ) является замкнутым линейным подпространством ℓ  ^∞ ( X ).

Эти результаты вложения полезны, поскольку банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, не свойственных всем метрическим пространствам: они являются векторными пространствами , которые позволяют добавлять точки и выполнять элементарную геометрию, включающую линии и плоскости и т. д.; и они являются полными . Если задана функция с областью определения X , часто желательно расширить эту функцию на большую область, и для этого часто требуется одновременно расширить область определения до банахова пространства, содержащего X.

История

Формально говоря, это вложение было впервые введено Куратовским [ ^3], но очень близкая вариация этого вложения появляется уже в работах Фреше . Эти работы используют вложение соответственно для того, чтобы представить его как «универсальное» сепарабельное метрическое пространство (оно само по себе не сепарабельно, отсюда и пугающие кавычки) ^[4] и построить общую метрику на , оттянув метрику на простую жорданову кривую в . ^[5] ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Смотрите также

• Плотная прослойка , вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство, определяемое аналогично вложению Куратовского.

Ссылки

1. Юха Хейнонен (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств , получено 6 января 2009 г.
2. Кароль Борсук (1967), Теория ретрактов , Варшава{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ). Теорема III.8.1
3. Куратовски, К. (1935) «Quelques problèmes, касающийся les espaces métriques notseparables» (Некоторые проблемы, касающиеся несепарабельных метрических пространств), Fundamenta Mathematicae 25: стр. 534–545.
4. Фреше, Морис (1 июня 1910 г.). «Измерения абстрактного ансамбля». Математические Аннален . 68 (2): 161–163. дои : 10.1007/BF01474158. ISSN  0025-5831 . Проверено 17 марта 2024 г.
5. Фреше, Морис (1925). «L'Expression la Plus Generale de la «Distance» Sur Une Droite». Американский журнал математики . 47 (1): 4–6. дои : 10.2307/2370698. ISSN  0002-9327 . Проверено 17 марта 2024 г.