Теорема флуктуации-диссипации

Теорема статистической физики

Теорема флуктуации–диссипации ( FDT ) или соотношение флуктуации–диссипации ( FDR ) является мощным инструментом в статистической физике для прогнозирования поведения систем, которые подчиняются детальному балансу . Учитывая, что система подчиняется детальному балансу, теорема является доказательством того, что термодинамические флуктуации физической переменной предсказывают реакцию, количественно определяемую проводимостью или импедансом ( в их общем смысле, а не только в электромагнитных терминах) той же физической переменной (например, напряжения, разницы температур и т. д.), и наоборот. Теорема флуктуации–диссипации применима как к классическим , так и к квантово-механическим системам.

Теорема флуктуации-диссипации была доказана Гербертом Калленом и Теодором Велтоном в 1951 году ^[1] и расширена Рёго Кубо . Существуют предшественники общей теоремы, включая объяснение Эйнштейном броуновского движения ^[2] во время его annus mirabilis и объяснение Гарри Найквиста в 1928 году шума Джонсона в электрических резисторах. ^[3]

Качественный обзор и примеры

Теорема флуктуации-диссипации гласит, что когда есть процесс, который рассеивает энергию, превращая ее в тепло (например, трение), есть обратный процесс, связанный с тепловыми флуктуациями . Это лучше всего понять, рассмотрев несколько примеров:

• Сопротивление и броуновское движение

  Если объект движется через жидкость, он испытывает сопротивление (сопротивление воздуха или жидкости). Сопротивление рассеивает кинетическую энергию, превращая ее в тепло. Соответствующее колебание — броуновское движение . Объект в жидкости не стоит на месте, а движется с небольшой и быстро меняющейся скоростью, поскольку молекулы в жидкости сталкиваются с ним. Броуновское движение преобразует тепловую энергию в кинетическую энергию — обратную сопротивлению.

• Сопротивление и шум Джонсона

  Если электрический ток течет через проволочную петлю с резистором внутри, ток быстро упадет до нуля из-за сопротивления. Сопротивление рассеивает электрическую энергию, превращая ее в тепло ( джоулев нагрев ). Соответствующее колебание — шум Джонсона . Проволочная петля с резистором внутри на самом деле не имеет нулевого тока, в ней есть небольшой и быстро колеблющийся ток, вызванный тепловыми колебаниями электронов и атомов в резисторе. Шум Джонсона преобразует тепловую энергию в электрическую — процесс, обратный сопротивлению.

• Поглощение света и тепловое излучение

  Когда свет падает на объект, некоторая часть света поглощается, делая объект горячее. Таким образом, поглощение света превращает световую энергию в тепло. Соответствующая флуктуация — тепловое излучение (например, свечение «раскаленного» объекта). Тепловое излучение превращает тепловую энергию в световую — процесс, обратный поглощению света. Действительно, закон Кирхгофа о тепловом излучении подтверждает, что чем эффективнее объект поглощает свет, тем больше теплового излучения он испускает.

Подробные примеры

Теорема о флуктуации-диссипации является общим результатом статистической термодинамики , которая количественно определяет связь между флуктуациями в системе, подчиняющейся детальному равновесию , и реакцией системы на приложенные возмущения.

Броуновское движение

Например, Альберт Эйнштейн в своей статье 1905 года о броуновском движении отметил , что те же случайные силы, которые вызывают хаотичное движение частицы в броуновском движении, также вызвали бы сопротивление, если бы частицу тянули через жидкость. Другими словами, флуктуация покоящейся частицы имеет то же происхождение, что и диссипативная сила трения, против которой нужно совершить работу, если попытаться возмутить систему в определенном направлении.

Из этого наблюдения Эйнштейн смог использовать статистическую механику для выведения соотношения Эйнштейна–Смолуховского.

${\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}$

которая связывает постоянную диффузии D и подвижность частицы μ , отношение конечной скорости дрейфа частицы к приложенной силе. k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура .

Тепловой шум в резисторе

В 1928 году Джон Б. Джонсон открыл, а Гарри Найквист объяснил шум Джонсона-Найквиста . При отсутствии приложенного тока среднеквадратичное напряжение зависит от сопротивления , и полосы пропускания , в которой измеряется напряжение: ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \Delta \nu }$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .}$

Простая схема для иллюстрации теплового шума Джонсона-Найквиста в резисторе.

Это наблюдение можно понять через призму теоремы флуктуации-диссипации. Возьмем, к примеру, простую цепь, состоящую из резистора с сопротивлением и конденсатора с малой емкостью . Закон напряжения Кирхгофа дает ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}$

и поэтому функция отклика для этой схемы равна

${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}$

В пределе низких частот его мнимая часть просто ${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}$

которая затем может быть связана с функцией спектральной плотности мощности напряжения с помощью теоремы о флуктуации-диссипации ${\displaystyle S_{V}(\omega )}$

${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}$

Шум напряжения Джонсона-Найквиста наблюдался в пределах небольшой полосы частот , сосредоточенной вокруг . Следовательно ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$ ${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }$

Общая формулировка

Теорему флуктуации-диссипации можно сформулировать многими способами; особенно полезна следующая форма: ^{[ требуется ссылка ]} .

Пусть будет наблюдаемой динамической системы с гамильтонианом , подверженным тепловым флуктуациям. Наблюдаемая будет колебаться вокруг своего среднего значения с флуктуациями, характеризующимися спектром мощности . Предположим, что мы можем включить изменяющееся во времени, пространственно постоянное поле , которое изменяет гамильтониан на . Реакция наблюдаемой на зависящее от времени поле характеризуется в первом порядке восприимчивостью или линейной функцией отклика системы ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle H_{0}(x)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \langle x\rangle _{0}}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,}$

где возмущение адиабатически (очень медленно) включается при . ${\displaystyle \tau =-\infty }$

Теорема флуктуации-диссипации связывает двусторонний спектр мощности (т.е. как положительные, так и отрицательные частоты) с мнимой частью преобразования Фурье восприимчивости : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ $${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).}$$

что выполняется в соответствии с соглашением о преобразовании Фурье . Левая часть описывает колебания в , правая часть тесно связана с энергией, рассеиваемой системой при накачке колебательным полем . Спектр колебаний показывает линейный отклик, поскольку прошлые колебания вызывают будущие колебания посредством линейного отклика на себя. ${\displaystyle f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}$

Это классическая форма теоремы; квантовые флуктуации учитываются заменой на (предел для которого равен ). Доказательство можно найти с помощью редукции LSZ , тождества из квантовой теории поля. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$ ${\displaystyle \hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$ ${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$

Теорему флуктуации-диссипации можно простым образом обобщить на случай пространственно-зависимых полей, на случай нескольких переменных или на случай квантовой механики. ^[1]

Вывод

Классическая версия

Выведем теорему флуктуации-диссипации в форме, приведенной выше, используя те же обозначения. Рассмотрим следующий тестовый случай: поле f было включено в течение бесконечного времени и выключается в момент t =0

${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$

где - функция Хевисайда . Мы можем выразить математическое ожидание через распределение вероятностей W ( x ,0) и вероятность перехода ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$

Функция распределения вероятностей W ( x ,0) является равновесным распределением и, следовательно, задается распределением Больцмана для гамильтониана ${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}$

где . Для слабого поля можно разложить правую часть ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$

${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}$

вот равновесное распределение в отсутствие поля. Подставляя это приближение в формулу для получаем ${\displaystyle W_{0}(x)}$ ${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$

где A ( t ) — автокорреляционная функция x в отсутствие поля:

${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$

Обратите внимание, что при отсутствии поля система инвариантна относительно временных сдвигов. Мы можем переписать, используя восприимчивость системы, и, следовательно, найти с помощью приведенного выше уравнения (*) ${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$

${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$

Следовательно,

Чтобы сделать утверждение о частотной зависимости, необходимо провести преобразование Фурье уравнения (**) . Интегрируя по частям, можно показать, что

${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$

Так как является действительным и симметричным, то отсюда следует, что ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$

Наконец, для стационарных процессов теорема Винера–Хинчина утверждает, что двусторонняя спектральная плотность равна преобразованию Фурье автокорреляционной функции:

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$

Следовательно, следует, что

${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$

Квантовая версия

Теорема флуктуации-диссипации связывает корреляционную функцию интересующей наблюдаемой величины (меру флуктуации) с мнимой частью функции отклика в частотной области (меру диссипации). Связь между этими величинами можно найти с помощью так называемой формулы Кубо ^[5] ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$

${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$

что следует, в соответствии с предположениями теории линейного отклика , из временной эволюции ансамблевого среднего наблюдаемого в присутствии возмущающего источника. После преобразования Фурье формула Кубо позволяет записать мнимую часть функции отклика как ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$

В каноническом ансамбле второй член можно переформулировать как

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$

где во втором равенстве мы переместили, используя циклическое свойство следа. Далее, в третьем равенстве мы вставили рядом со следом и интерпретировали как оператор эволюции времени с мнимым временным интервалом . Мнимый временной сдвиг превращается в фактор после преобразования Фурье ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$ ${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$ ${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$ ${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$ ${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$

и, таким образом, выражение для можно легко переписать как квантовое флуктуационно-диссипативное соотношение ^[6] ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

где спектральная плотность мощности — это преобразование Фурье автокорреляции , а — функция распределения Бозе-Эйнштейна . Тот же расчет также дает ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$

${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$

Таким образом, в отличие от того, что получено в классическом случае, спектральная плотность мощности не является точно частотно-симметричной в квантовом пределе. Последовательно, имеет мнимую часть, происходящую из правил коммутации операторов. ^[7] Дополнительный член " " в выражении на положительных частотах также можно рассматривать как связанный со спонтанным излучением . Часто цитируемый результат также представляет собой симметризованную спектральную плотность мощности ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$

${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$

" " можно рассматривать как связанное с квантовыми флуктуациями или с нулевым движением наблюдаемой . При достаточно высоких температурах, т.е. квантовый вклад незначителен, и мы получаем классическую версию. ${\displaystyle +1/2}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$

Нарушения в стеклообразных системах

В то время как теорема о флуктуации-диссипации обеспечивает общее соотношение между реакцией систем, подчиняющихся детальному балансу , когда детальный баланс нарушается, сравнение флуктуаций с диссипацией является более сложным. Ниже так называемой температуры стекла стеклообразные системы не уравновешены и медленно приближаются к своему равновесному состоянию. Это медленное приближение к равновесию является синонимом нарушения детального баланса. Таким образом, эти системы требуют больших временных масштабов для изучения, пока они медленно движутся к равновесию. ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$

Для изучения нарушения соотношения флуктуации-диссипации в стеклообразных системах, в частности спиновых стеклах , исследователи провели численное моделирование макроскопических систем (т.е. больших по сравнению с их корреляционными длинами), описываемых трехмерной моделью Эдвардса-Андерсона, с использованием суперкомпьютеров. ^[8] В их моделировании система изначально готовится при высокой температуре, быстро охлаждается до температуры ниже температуры стекла и оставляется для уравновешивания в течение очень длительного времени под магнитным полем . Затем, в более позднее время , исследуются две динамические наблюдаемые, а именно функция отклика и функция спин-временной корреляции, где — спин, живущий на узле кубической решетки объема , а — плотность намагниченности. Соотношение флуктуации-диссипации в этой системе можно записать в терминах этих наблюдаемых как ${\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle t_{\rm {w}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t+t_{\rm {w}}}$ $${\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}}$$ $${\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}$$ ${\displaystyle S_{x}=\pm 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$ $${\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}$$

Их результаты подтверждают ожидание того, что если система находится в равновесии в течение более длительного времени, то соотношение флуктуации-диссипации становится более удовлетворительным.

В середине 1990-х годов при изучении динамики моделей спинового стекла было обнаружено обобщение теоремы о флуктуации-диссипации, справедливое для асимптотических нестационарных состояний, где температура, фигурирующая в соотношении равновесия, заменяется эффективной температурой с нетривиальной зависимостью от временных масштабов. ^[9] Предполагается, что это соотношение справедливо в стеклообразных системах за пределами моделей, для которых оно было первоначально обнаружено.

Смотрите также

• Неравновесная термодинамика
• Отношения Грина–Кубо
• Взаимные отношения Онзагера
• Теорема о равнораспределении
• Распределение Больцмана
• Диссипативная система

Примечания

1. HB Callen ; TA Welton (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Physical Review . 83 (1): 34–40. Bibcode :1951PhRv...83...34C. doi :10.1103/PhysRev.83.34.
2. Эйнштейн, Альберт (май 1905 г.). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen». Аннален дер Физик . 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е. дои : 10.1002/andp.19053220806 .
3. Найквист Х (1928). «Тепловое возбуждение электрического заряда в проводниках». Physical Review . 32 (1): 110–113. Bibcode : 1928PhRv...32..110N. doi : 10.1103/PhysRev.32.110.
4. Бланделл, Стивен Дж.; Бланделл, Кэтрин М. (2009). Концепции в теплофизике . OUP Oxford.
5. Кубо Р. (1966). «Теорема флуктуации-диссипации». Reports on Progress in Physics . 29 (1): 255–284. Bibcode :1966RPPh...29..255K. doi :10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID  250892844.
6. Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig (2005). "Фундаментальные аспекты квантового броуновского движения". Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 15 (2): 026105. arXiv : quant-ph/0412052 . Bibcode : 2005Chaos..15b6105H. doi : 10.1063/1.1853631. PMID  16035907. S2CID  9787833.
7. Клерк, AA; Деворе, MH; Гирвин, SM; Марквардт, Флориан; Шелькопф, RJ (2010). «Введение в квантовый шум, измерение и усиление». Reviews of Modern Physics . 82 (2): 1155. arXiv : 0810.4729 . Bibcode : 2010RvMP...82.1155C. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
8. Байти-Хеси Марко, Калоре Энрико, Крус Андрес, Антонио Фернандес Луис, Мигель Хиль-Нарвион Хосе, Гордильо-Герреро Антонио, Иньигес Давид, Майорано Андреа, Маринари Энсо, Мартин-Майор Виктор, Монфорте-Гарсия Хорхе, Муньос Судупе Антонио, Наварро Денис, Паризи Джорджио, Перес-Гавиро Серхио, Риччи-Терсенги Федерико, Хесус Руис-Лоренцо Хуан, Фабио Скифано Себастьяно, Сеоан Беатрис, Таранкон Альфонсо, Трипиччоне Раффаэле, Илланес Давид (2017). «Эквивалентность статики и динамики через соотношение флуктуации и диссипации дает возможность проникнуть в фазу спинового стекла на основе неравновесных измерений». Труды Национальной академии наук . 114 (8): 1838–1843. arXiv : 1610.01418 . Bibcode : 2017PNAS..114.1838B . doi : 10.1073/pnas.1621242114 . PMC 5338409. PMID  28174274. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Cugliandolo LF ; Kurchan J. (1993). "Аналитическое решение неравновесной динамики дальнодействующей модели спинового стекла". Physical Review Letters . 71 (1): 173–176. arXiv : cond-mat/9303036 . Bibcode :1993PhRvL..71..173C. doi :10.1103/PhysRevLett.71.173. PMID  10054401. S2CID  8591240.

Ссылки

• HB Callen, TA Welton (1951). «Необратимость и обобщенный шум». Physical Review . 83 (1): 34–40. Bibcode : 1951PhRv...83...34C. doi : 10.1103/PhysRev.83.34.
• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц (1980). Статистическая физика . Курс теоретической физики . Т. 5 (3-е изд.).
• Умберто Марини Беттоло Маркони; Андреа Пуглиси; Ламберто Рондони; Анджело Вульпиани (2008). «Флуктуация-Диссипация: теория отклика в статистической физике». Отчеты по физике . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Бибкод : 2008PhR...461..111M. doi :10.1016/j.physrep.2008.02.002. S2CID  118575899.

Дальнейшее чтение

• Аудиозапись лекции профессора Э. У. Карлсона из Университета Пердью
• Знаменитый текст Кубо: Теорема о флуктуации-диссипации
• Вебер Дж. (1956). «Теорема о флуктуационной диссипации». Physical Review . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode : 1956PhRv..101.1620W. doi : 10.1103/PhysRev.101.1620.
• Felderhof BU (1978). «О выводе теоремы о флуктуации-диссипации». Journal of Physics A. 11 ( 5): 921–927. Bibcode :1978JPhA...11..921F. doi :10.1088/0305-4470/11/5/021.
• Cristani A, Ritort F (2003). «Нарушение теоремы флуктуации-диссипации в стеклообразных системах: основные понятия и численные доказательства». Journal of Physics A . 36 (21): R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Bibcode :2003JPhA...36R.181C. doi :10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID  14144683.
• Чандлер Д. (1987). Введение в современную статистическую механику. Oxford University Press. С. 231–265. ISBN 978-0-19-504277-1.
• Reichl LE (1980). Современный курс статистической физики . Остин, Техас: Издательство Техасского университета. С. 545–595. ISBN 0-292-75080-3.
• Плишке М., Бергерсен Б. (1989). Равновесная статистическая физика . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 251–296. ISBN 0-13-283276-3.
• Патрия РК (1972). Статистическая механика . Оксфорд: Pergamon Press. стр. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
• Хуан К (1987). Статистическая механика . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. стр. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7.
• Callen HB (1985). Термодинамика и введение в термостатистику . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. С. 307–325. ISBN 0-471-86256-8.
• Мазонка, Олег (2016). "Просто как число Пи: соотношение флуктуации и диссипации" (PDF) . Журнал ссылок . 16 .