Ограниченная функция

Математическая функция, множество значений которой ограничено.

Схематическое изображение ограниченной функции (красная) и неограниченной (синяя). Интуитивно понятно, что график ограниченной функции остается в пределах горизонтальной полосы, а график неограниченной функции — нет.

В математике функция, определенная на некотором множестве с действительными или комплексными значениями, называется ограниченной, если множество ее значений ограничено . Другими словами, существует действительное число такое, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

для всех из . ^[1] Функция, которая не ограничена, называется неограниченной . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Если является вещественнозначным и для всех в , то говорят, что функция ограничена (сверху) значением . Если для всех в , то говорят, что функция ограничена (снизу) значением . Действительная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу. ^{[1] [ необходимы дополнительные ссылки ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\leq A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)\geq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

Важным частным случаем является ограниченная последовательность , где берется множество натуральных чисел . Таким образом, последовательность ограничена, если существует действительное число такое, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

для каждого натурального числа . Множество всех ограниченных последовательностей образует пространство последовательностей . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l^{\infty }}$

Определение ограниченности можно обобщить на функции, принимающие значения в более общем пространстве, потребовав, чтобы изображение было ограниченным множеством в . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Связанные понятия

Слабее ограниченности является локальная ограниченность . Семейство ограниченных функций может быть равномерно ограничено .

Ограниченный оператор не является ограниченной функцией в смысле определения этой страницы (если только ), но имеет более слабое свойство сохранения ограниченности ; ограниченные множества отображаются в ограниченные множества . Это определение можно распространить на любую функцию , если и допускают концепцию ограниченного множества. Ограниченность также можно определить, посмотрев на график. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Примеры

• Функция синуса ограничена, так как для всех . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
• Функция , определенная для всех действительных чисел, за исключением −1 и 1, является неограниченной. При приближении к −1 или 1 значения этой функции увеличиваются по величине. Эту функцию можно сделать ограниченной, если ограничить ее область определения, например, или . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [2,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,-2]}$
• Функция , определенная для всех действительных , ограничена , так как для всех . ^{[ необходима цитата ]} ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ ${\displaystyle x}$
• Обратная тригонометрическая функция арктангенс определяется как: или возрастает для всех действительных чисел и ограничена радианами ^[3 ] ${\displaystyle y=\arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\tan(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
• По теореме об ограниченности каждая непрерывная функция на замкнутом интервале, таком как , ограничена. ^[4] В более общем смысле, любая непрерывная функция из компактного пространства в метрическое пространство ограничена. ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$
• Все комплекснозначные функции, которые являются целыми , либо неограниченны, либо постоянны, как следствие теоремы Лиувилля . ^[5] В частности, комплекс должен быть неограниченным, поскольку он является целым. ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$
• Функция , которая принимает значение 0 для рационального числа и 1 для иррационального числа (ср. функция Дирихле ) , ограничена . Таким образом, функция не обязательно должна быть «хорошей», чтобы быть ограниченной. Множество всех ограниченных функций, определенных на , намного больше, чем множество непрерывных функций на этом интервале. ^{[ требуется ссылка ]} Более того, непрерывные функции не обязательно должны быть ограниченными; например, функции и , определенные с помощью и , обе непрерывны, но ни одна из них не ограничена. ^[6] (Однако непрерывная функция должна быть ограниченной, если ее область определения и замкнута, и ограничена. ^[6] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x,y):=x+y}$ ${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$

Смотрите также

• Ограниченное множество
• Компактная поддержка
• Локальная ограниченность
• Равномерная ограниченность

Ссылки

1. Джеффри, Алан (1996-06-13). Математика для инженеров и ученых, 5-е издание. CRC Press. ISBN 978-0-412-62150-5.
2. "Функции синуса и косинуса" (PDF) . math.dartmouth.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2013 г. . Получено 1 сентября 2021 г. .
3. Полянин, Андрей Д.; Черноуцан, Алексей (2010-10-18). Краткий справочник по математике, физике и инженерным наукам. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0640-1.
4. Weisstein, Eric W. "Теорема об экстремальных значениях". mathworld.wolfram.com . Получено 01.09.2021 .
5. "Теоремы Лиувилля - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 01.09.2021 .
6. Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2010-03-20). Курс многомерного исчисления и анализа. Springer Science & Business Media. стр. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1.