Теорема о сжатии

В исчислении теорема о сжатии (также известная как теорема о сэндвиче , среди прочих названий ^[a] ) — это теорема о пределе функции , которая ограничена двумя другими функциями .

Теорема сжатия используется в исчислении и математическом анализе , как правило, для подтверждения предела функции посредством сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны. Впервые она была использована геометрически математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить π и была сформулирована в современных терминах Карлом Фридрихом Гауссом .

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом. ^[1]

Теорема — Пусть $I$ — интервал , содержащий точку $a$ . Пусть $g$ , $f$ и $h$ — функции, определенные на $I$ , за исключением, возможно, самой точки $a$ . Предположим, что для каждого $x$ в $I,$ не равного $a$ , мы имеем и также предположим, что Тогда $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ $\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$ $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

Функции $g$ и $h$ называются нижней и верхней границами (соответственно) функции $f$ .
Здесь $a$ не обязательно должен лежать внутри I. Действительно , если $a является конечной точкой I$ $,$ то $указанные$ выше пределы являются левыми или правыми пределами.
Аналогичное утверждение справедливо для бесконечных интервалов: например, если $I = (0, \infty)$ , то заключение справедливо, если принять пределы при $x \to \infty$ .

Эта теорема также справедлива для последовательностей. Пусть $(a n), (c n)$ — две последовательности, сходящиеся к $ℓ$ , и $(b n)$ — последовательность. Если у нас есть $a$ $n$ $\leq$ $b$ $n$ $\leq$ $c$ $n$ , то $($ $b$ $n$ $)$ также сходится к $ℓ$ . $\forall n\geq N,N\in \mathbb {N}$

Доказательство

Согласно вышеизложенным гипотезам, мы имеем, взяв нижний и верхний предел: поэтому все неравенства на самом деле являются равенствами, и тезис немедленно следует. $L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$

Прямое доказательство, использующее $(ε, δ)$ -определение предела, состояло бы в доказательстве того, что для всех действительных $ε > 0$ существует действительное $δ > 0$ такое, что для всех $x$ с мы имеем Символически, $|x-a|<\delta ,$ $|f(x)-L|<\varepsilon .$

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Как

$\lim _{x\to a}g(x)=L$

означает, что

и $\lim _{x\to a}h(x)=L$

означает, что

тогда у нас есть

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ $g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$

Мы можем выбрать . Тогда, если , объединяя ( 1 ) и ( 2 ), мы имеем $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$ $|x-a|<\delta$

$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$ $-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,$

что завершает доказательство. QED

Доказательство для последовательностей очень похоже и использует определение предела последовательности. $\varepsilon$

Примеры

Первый пример

Предел

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

не может быть определено через предельный закон

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$

потому что

$\lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

не существует.

Однако, по определению функции синуса ,

$-1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.$

Из этого следует, что

$-x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}$

Так как , по теореме о сжатии, также должно быть равно 0. $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$ $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

Второй пример

Вероятно, наиболее известными примерами нахождения предела методом сжатия являются доказательства равенств ${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}$

Первый предел следует из теоремы о сжатии из того факта, что ^[2]

$\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$

для $x$ достаточно близко к 0. Правильность которого для положительного $x$ можно увидеть с помощью простого геометрического рассуждения (см. рисунок), которое можно распространить и на отрицательный $x$ . Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

$0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x$ для $x,$ достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив $sin x$ в предыдущем факте на и возведя полученное неравенство в квадрат. ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

Эти два предела используются в доказательствах того факта, что производная функции синуса есть функция косинуса. Этот факт используется в других доказательствах производных тригонометрических функций.

Третий пример

Это можно показать с помощью сжатия следующим образом. ${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},$

так как радиус равен $sec θ$ , а дуга на единичной окружности имеет длину $Δ θ$ . Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

${\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.$

То, что зажато между ними, — это треугольник, основанием которого является вертикальный отрезок, концы которого — две точки. Длина основания треугольника равна $tan(θ + Δ θ) - tan θ$ , а высота равна 1. Площадь треугольника, таким образом, равна

${\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.$

Из неравенств

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}$

мы делаем вывод, что

$\sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),$

при условии $Δ θ > 0$ , и неравенства меняются на противоположные, если $Δ θ < 0.$ Поскольку первое и третье выражения стремятся к $sec 2 θ$ при $Δ θ \to 0$ , а среднее выражение стремится к желаемому результату, то следует. ${\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,$

Четвертый пример

Теорема сжатия все еще может быть использована в многомерном исчислении, но нижняя (и верхняя функции) должны быть ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и она работает только в том случае, если функция действительно имеет там предел. Поэтому ее можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но ее никогда нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке. ^[3]

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$

не может быть найдено путем взятия любого количества пределов вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

${\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}$

следовательно, по теореме о сжатии,

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.$

Ссылки

Примечания

^ Также известна как теорема о зажиме , правило сэндвича , полицейская теорема , теорема о между и иногда лемма о сжатии . В Италии теорема также известна как теорема карабинеров .

Ссылки

^ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis (2-е изд.). Birkhäuser . стр. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.
^ Селим Г. Крейн, В. Н. Ушакова: Vorstufe zur höheren Mathematik . Springer, 2013, ISBN 9783322986283 , стр. 80–81 (немецкий). См. также Сал Хан : Доказательство: предел (sin x)/x при x=0 (видео, Академия Хана )
^ Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Пределы и непрерывность». Многомерное исчисление (6-е изд.). С. 909–910. ISBN 978-0495011637.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема сжатия». MathWorld .
Теорема сжатия Брюса Этвуда (Колледж Белойта) на основе работы Селвина Холлиса (Университет штата Армстронг Атлантик), Проект демонстраций Вольфрама .
Теорема сжатия на ProofWiki.