Теорема сравнения Рауха

Связывает секционную кривизну риманова многообразия со скоростью разнесения геодезических линий

В римановой геометрии теорема сравнения Рауха , названная в честь Гарри Рауха , доказавшего ее в 1951 году, является фундаментальным результатом, связывающим секционную кривизну риманова многообразия со скоростью, с которой геодезические расходятся. Интуитивно она утверждает, что при положительной кривизне геодезические имеют тенденцию сходиться, тогда как при отрицательной кривизне геодезические имеют тенденцию расходиться.

Формулировка теоремы включает два римановых многообразия и позволяет сравнивать бесконечно малую скорость, с которой геодезические расходятся в двух многообразиях, при условии, что их кривизну можно сравнить. В большинстве случаев одно из двух многообразий является «моделью сравнения», как правило, многообразием с постоянной кривизной , а второе — изучаемым многообразием: тогда для применения теоремы сравнения Рауха требуется ограничение (нижнее или верхнее) его секционной кривизны .

Заявление

Пусть — римановы многообразия, на которых нарисованы геодезические отрезки единичной скорости и . Предположим, что не имеет сопряженных точек вдоль , и пусть — два нормальных поля Якоби вдоль и такие, что : ${\displaystyle M,{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle J,{\widetilde {J}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$

• ${\displaystyle J(0)=0}$и ${\displaystyle {\widetilde {J}}(0)=0}$
• ${\displaystyle |D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|}$.

Если секционная кривизна каждой 2-плоскости, содержащей , меньше или равна секционной кривизне каждой 2-плоскости , содержащей , то для всех . ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)}$ ${\displaystyle |J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Условия теоремы

Теорема сформулирована с использованием полей Якоби для измерения вариации геодезических. Поскольку тангенциальная часть поля Якоби не зависит от геометрии многообразия, теорема фокусируется на нормальных полях Якоби, т.е. полях Якоби, которые ортогональны вектору скорости геодезической для всего времени . С точностью до репараметризации каждая вариация геодезических индуцирует нормальное поле Якоби. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Поля Якоби должны исчезать в момент времени, поскольку теорема измеряет бесконечно малое расхождение (или сходимость) семейства геодезических, исходящих из одной и той же точки , и такое семейство индуцирует поле Якоби, исчезающее в момент времени . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle t=0}$

Аналоговые теоремы

При очень похожих условиях также можно сравнить гессиан функции расстояния до заданной точки. ^[1] Также можно сравнить лапласиан этой функции (который является следом гессиана) с некоторым дополнительным условием на одном из двух многообразий: тогда достаточно иметь неравенство на кривизну Риччи (которая является следом тензора кривизны). ^[1]

Смотрите также

• Теорема Топоногова

Ссылки

1. Greene, Robert Everist; Wu, Hongxi (1979). Теория функций на многообразиях, обладающих полюсом. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09108-4. OCLC  4593089.

• ду Карму, М. П. Риманова геометрия , Биркхойзер, 1992.
• Ли, Дж. М., Римановы многообразия: введение в кривизну , Springer, 1997.