Теория Флоке

Отделение обыкновенных дифференциальных уравнений

Теория Флоке — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений , относящийся к классу решений периодических линейных дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$

причем и являясь кусочно-непрерывной периодической функцией с периодом и определяет состояние устойчивости решений. ${\displaystyle x\in {R^{n}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}}$ ${\displaystyle T}$

Основная теорема теории Флоке, теорема Флоке , принадлежащая Гастону Флоке  (1883), дает каноническую форму для каждого фундаментального матричного решения этой общей линейной системы . Она дает изменение координат с , которое преобразует периодическую систему в традиционную линейную систему с постоянными действительными коэффициентами . ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$

Применительно к физическим системам с периодическими потенциалами, таким как кристаллы в физике конденсированного состояния , результат известен как теорема Блоха .

Обратите внимание, что решения линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. Матрица называется фундаментальным матричным решением, если столбцы образуют базис множества решений. Матрица называется главным фундаментальным матричным решением , если все столбцы являются линейно независимыми решениями и существует такое, что является тождеством. Главную фундаментальную матрицу можно построить из фундаментальной матрицы с помощью . Решение линейного дифференциального уравнения с начальным условием имеет вид , где является любым фундаментальным матричным решением. ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle \Phi (t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \Phi (t_{0})}$ ${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$

Теорема Флоке

Пусть будет линейным дифференциальным уравнением первого порядка, где — вектор-столбец длины и периодическая матрица с периодом (то есть для всех действительных значений ). Пусть будет фундаментальным матричным решением этого дифференциального уравнения. Тогда для всех , ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$

Здесь

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$

известна как матрица монодромии . Кроме того, для каждой матрицы (возможно, комплексной) такой, что ${\displaystyle B}$

${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$

существует периодическая (период ) матричная функция такая, что ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mapsto P(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

Кроме того, существует действительная матрица и действительная периодическая (период- ) матричная функция, такие что ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

В приведенном выше примере , и являются матрицами . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$

Последствия и применение

Это отображение приводит к зависящему от времени изменению координат ( ), при котором наша исходная система становится линейной системой с действительными постоянными коэффициентами . Поскольку является непрерывным и периодическим, то оно должно быть ограничено. Таким образом, устойчивость нулевого решения для и определяется собственными значениями . ${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$ ${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R}$

Представление называется нормальной формой Флоке для фундаментальной матрицы . ${\displaystyle \phi \,(t)=P(t)e^{tB}}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$

Собственные значения называются характеристическими множителями системы . Они также являются собственными значениями (линейных) отображений Пуанкаре . Показатель Флоке (иногда называемый характеристическим показателем) — это комплекс , такой что является характеристическим множителем системы. Обратите внимание, что показатели Флоке не являются уникальными, так как , где — целое число. Действительные части показателей Флоке называются показателями Ляпунова . Нулевое решение асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова отрицательны, устойчиво по Ляпунову, если показатели Ляпунова неположительны, и неустойчиво в противном случае. ${\displaystyle e^{TB}}$ ${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e^{\mu T}}$ ${\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}$ ${\displaystyle k}$

• Теория Флоке очень важна для изучения динамических систем , таких как уравнение Матье .
• Теория Флоке демонстрирует устойчивость дифференциального уравнения Хилла (введенного Джорджем Уильямом Хиллом ), аппроксимирующего движение Луны как гармонического осциллятора в периодическом гравитационном поле .
• Размягчение и упрочнение связей в интенсивных лазерных полях можно описать с помощью решений, полученных из теоремы Флоке.
• Динамика сильно управляемых квантовых систем часто исследуется с использованием теории Флоке. В сверхпроводящих цепях структура Флоке была использована для пролива света на квантовую электродинамику многокубитовых взаимодействий, вызванных приводом.

Ссылки

• Чиконе К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1999.
• М. С. П. Истхэм, «Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений», Тексты по математике, Scottish Academic Press, Эдинбург, 1973. ISBN  978-0-7011-1936-2 .
• Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. Том. 19. Берлин: Шпрингер-Верлаг. стр. х+247. ISBN 3-540-50613-6. МР  1051888.
• Флоке, Гастон (1883), «Sur les équations différentielles linéaires à periodiques periodiques» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033/asens.220
• Красносельский, М.А. (1968), Оператор переноса по траекториям дифференциальных уравнений , Провиденс : Американское математическое общество, Перевод математических монографий, 19, 294с.
• В. Магнус, С. Винклер. Уравнение Хилла , Dover-Phoenix Editions, ISBN 0-486-49565-5 . 
• Н. В. Маклахлан, Теория и применение функций Матье , Нью-Йорк: Довер, 1964.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Дэн, Чунцин; Шен, Фейруо; Ашхаб, Сахель; Лупаску, Адриан (27.09.2016). «Динамика двухуровневой системы под сильным воздействием: оптимизация квантовых вентилей на основе теории Флоке». Physical Review A. 94 ( 3). arXiv : 1605.08826 . doi : 10.1103/PhysRevA.94.032323. ISSN  2469-9926.
• Хуан, Цзывэнь; Мундада, Пранав С.; Дьенис, Андраш; Шустер, Дэвид И.; Хоук, Эндрю А.; Кох, Йенс (2021-03-22). «Разработка динамических зон наилучшего восприятия для защиты кубитов от шума 1 / f». Physical Review Applied . 15 (3). arXiv : 2004.12458 . doi :10.1103/PhysRevApplied.15.034065. ISSN  2331-7019.
• Нгуен, Л. Б.; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые взаимодействия Гейзенберга между кубитами Флоке». Nature Physics . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Bibcode :2024NatPh..20..240N. doi : 10.1038/s41567-023-02326-7 .

Внешние ссылки

• «Теория Флоке», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]