Теория колеса

Алгебра, где деление всегда определено

Схема колеса как действительной проективной прямой с точкой в ​​нуле (обозначается ⊥).

Колесо — это тип алгебры (в смысле универсальной алгебры ), где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл. Действительные числа можно расширить до колеса, как и любое коммутативное кольцо .

Термин « колесо» вдохновлен топологической картиной действительной проективной прямой вместе с дополнительной точкой ⊥ ( нижний элемент ), такой что . ^[1] ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \bot =0/0}$

Колесо можно рассматривать как эквивалент коммутативного кольца (и полукольца ), где сложение и умножение не являются группой , а соответственно коммутативным моноидом и коммутативным моноидом с инволюцией . ^[1]

Определение

Колесо — это алгебраическая структура , в которой ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$

• ${\displaystyle W}$это набор,
• ${\displaystyle {}0}$и являются элементами этого множества, ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle +}$и являются бинарными операциями , ${\displaystyle \cdot }$
• ${\displaystyle /}$является унарной операцией ,

и удовлетворяющий следующим свойствам:

• ${\displaystyle +}$и каждый из них коммутативен и ассоциативен и имеет и в качестве своих соответствующих тождеств . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle /}$является инволюцией , например ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /}$является мультипликативным , например ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Алгебра колес

Колеса заменяют обычное деление как бинарную операцию умножением, причем унарная операция применяется к одному аргументу, аналогичному (но не идентичному) мультипликативной обратной операции , так что становится сокращением для , но ни то, ни другое в общем случае, и изменяет правила алгебры таким образом, что ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$в общем случае
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$в общем случае, это не то же самое, что мультипликативная обратная величина . ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x}$

Другие идентичности, которые могут быть получены, это

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

где отрицание определяется как и если существует элемент такой, что (таким образом, в общем случае ). ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -x=ax}$ ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1+a=0}$ ${\displaystyle x-x\neq 0}$

Однако для значений, удовлетворяющих и , мы получаем обычное ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0x=0}$ ${\displaystyle 0/x=0}$

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

Если отрицание можно определить как ниже, то подмножество является коммутативным кольцом , и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если является обратимым элементом коммутативного кольца, то . Таким образом, всякий раз, когда имеет смысл, оно равно , но последнее всегда определено, даже когда . ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x=0}$

Примеры

Колесо дробей

Пусть будет коммутативным кольцом, и пусть будет мультипликативным подмоноидом . Определим отношение конгруэнтности на с помощью ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$ ${\displaystyle A\times A}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$означает, что существуют такие, что . ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$ ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

Определим колесо дробей относительно как частное (и обозначим класс эквивалентности , содержащий как ) с операциями ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (аддитивная идентичность)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (мультипликативное тождество)

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (взаимная операция)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция сложения)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (операция умножения)

Проективная прямая и сфера Римана

Частный случай вышеизложенного, начинающийся с поля, производит проективную прямую , расширенную до колеса путем присоединения нижнего элемента, обозначенного ⊥ , где . Проективная прямая сама является расширением исходного поля элементом , где для любого элемента в поле. Однако, все еще не определено на проективной прямой, но определено в ее расширении до колеса. ${\displaystyle 0/0=\bot }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z\neq 0}$ ${\displaystyle 0/0}$

Начиная с действительных чисел , соответствующая проективная «прямая» геометрически является окружностью , а затем дополнительная точка дает форму, которая является источником термина «колесо». Или, начиная с комплексных чисел , соответствующая проективная «прямая» является сферой ( сферой Римана ), а затем дополнительная точка дает трехмерную версию колеса. ${\displaystyle 0/0}$

Смотрите также

• NaN

Цитаты

1. Carlström 2004.

Ссылки

• Сетцер, Антон (1997), Колеса (PDF)(черновик)
• Карлстрём, Йеспер (2004), «Колеса – о делении на ноль», Математические структуры в информатике , 14 (1), Cambridge University Press : 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110, S2CID  11706592(также доступно онлайн здесь).
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 апреля 2007 г.). "Рациональные числа как абстрактный тип данных". Журнал ACM . 54 (2): 7. doi :10.1145/1219092.1219095. S2CID  207162259.
• Бергстра, Ян А.; Понсе, Албан (2015). «Деление на ноль на общих лугах». Программное обеспечение, услуги и системы: эссе, посвященные Мартину Вирсингу по случаю его выхода на пенсию с кафедры программирования и программной инженерии . Конспект лекций по информатике. 8950. Springer International Publishing: 46–61. arXiv : 1406.6878 . doi : 10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID  34509835.