Локальная ограниченность

В математике функция локально ограничена, если она ограничена вокруг каждой точки. Семейство функций локально ограничено , если для любой точки в их области определения все функции ограничены вокруг этой точки и тем же числом.

Локально ограниченная функция

Действительная или комплекснозначная функция , определенная в некотором топологическом пространстве, называется ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$локально ограниченный функционал , если для любогосуществуетокрестностьтакая, чтоявляетсяограниченным множеством. То есть, для некоторого числаодин имеет ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle M>0}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

Другими словами, для каждого можно найти константу, в зависимости от которой больше всех значений функции в окрестности Сравните это с ограниченной функцией , для которой константа не зависит от Очевидно, что если функция ограничена, то она локально ограничена. Обратное в общем случае неверно (см. ниже). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

Это определение можно распространить на случай, когда принимает значения в некотором метрическом пространстве Тогда неравенство выше нужно заменить на , где — некоторая точка в метрическом пространстве. Выбор не влияет на определение; выбор другого максимум увеличит константу, для которой это неравенство верно. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (Y,d).}$ $${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A,}$$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r}$

Примеры

• Функция, определяемая как , ограничена, так как для всех Поэтому она также локально ограничена. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$ ${\displaystyle x.}$

• Функция , определенная с помощью , не ограничена , поскольку становится произвольно большой. Однако она локально ограничена, поскольку для каждого в окрестности , где ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ ${\displaystyle (a-1,a+1),}$ ${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• Функция , определяемая как , не является ни ограниченной , ни локально ограниченной. В любой окрестности нуля эта функция принимает значения произвольно большой величины. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}}$$

• Любая непрерывная функция локально ограничена. Вот доказательство для функций действительной переменной. Пусть будет непрерывной, где и мы покажем, что локально ограничена при для всех Принимая ε = 1 в определении непрерывности, существует такое, что для всех с . Теперь по неравенству треугольника , что означает, что локально ограничена при (принимая и окрестность ). Это рассуждение легко обобщается на случай, когда областью определения является любое топологическое пространство. ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M=1+|f(a)|}$ ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$ ${\displaystyle f}$

• Однако обратное вышеприведенному результату неверно; то есть разрывная функция может быть локально ограниченной. Например, рассмотрим функцию, заданную и для всех Тогда разрывна в 0, но локально ограничена; она локально постоянна, за исключением нуля, где мы можем взять и окрестность , например. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M=1}$ ${\displaystyle (-1,1),}$

Семья, ограниченная местными границами

Множество (также называемое семейством ) U действительнозначных или комплекснозначных функций, определенных на некотором топологическом пространстве, называется локально ограниченным, если для любого существует окрестность и положительного числа такая, что для всех и Другими словами, все функции в семействе должны быть локально ограниченными, и вокруг каждой точки они должны быть ограничены одной и той же константой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle M>0}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle f\in U.}$

Это определение можно распространить и на случай, когда функции семейства U принимают значения в некотором метрическом пространстве, снова заменив абсолютное значение функцией расстояния.

Примеры

• Семейство функций , где локально ограничено. Действительно, если — действительное число, то можно выбрать окрестность в качестве интервала Тогда для всех в этом интервале и для всех имеем с Более того, семейство равномерно ограничено , поскольку ни окрестность , ни константа не зависят от индекса ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$ ${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n.}$

• Семейство функций локально ограничено, если больше нуля. Для любого можно выбрать окрестность , равную ему самому. Тогда мы имеем с Обратите внимание, что значение не зависит от выбора x ₀ или его окрестности Это семейство тогда не только локально ограничено, оно также равномерно ограничено. ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$ ${\displaystyle M=1.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A.}$

• Семейство функций локально не ограничено. Действительно, для любого значения не могут быть ограничены при стремлении к бесконечности. ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$

Топологические векторные пространства

Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологических векторных пространств или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство (TVS).

Локально ограниченные топологические векторные пространства

Подмножество топологического векторного пространства (TVS) называется ограниченным , если для каждой окрестности начала координат в существует действительное число такое, что A ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s>0}$ $${\displaystyle B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.}$$Локально ограниченное TVS — это TVS, обладающее ограниченной окрестностью начала координат. Покритерию нормируемости Колмогороваэто верно для локально выпуклого пространства тогда и только тогда, когда топология TVS индуцируется некоторойполунормой. В частности, каждое локально ограниченное TVSпсевдометризуемо.

Локально ограниченные функции

Пусть функция между топологическими векторными пространствами называется локально ограниченной функцией, если каждая точка имеет окрестность, образ которой ограничен . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Следующая теорема связывает локальную ограниченность функций с локальной ограниченностью топологических векторных пространств:

Теорема. Топологическое векторное пространство локально ограничено тогда и только тогда, когда тождественное отображение локально ограничено. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:X\to X}$

Смотрите также

• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Ограниченный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности

Внешние ссылки

• Запись PlanetMath для локально ограниченных
• Запись nLab для локально ограниченной категории