Тест Жарка-Бера

Тест на нормальность

В статистике критерий Жарка -Бера представляет собой критерий согласия, определяющий, имеют ли выборочные данные асимметрию и эксцесс , соответствующие нормальному распределению . Тест назван в честь Карлоса Харке и Анила К. Бера . Статистика теста всегда неотрицательна. Если оно далеко от нуля, это означает, что данные не имеют нормального распределения.

Тестовая статистика JB определяется как

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

где n — количество наблюдений (или степеней свободы вообще); S — асимметрия выборки , K — эксцесс выборки  :

${\displaystyle S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}},}$

${\displaystyle K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},}$

где и – оценки третьего и четвертого центральных моментов соответственно, – выборочное среднее , и – оценка второго центрального момента, дисперсии . ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$

Если данные поступают из нормального распределения, статистика JB асимптотически имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы , поэтому статистику можно использовать для проверки гипотезы о том, что данные взяты из нормального распределения . Нулевая гипотеза представляет собой совместную гипотезу о том, что асимметрия равна нулю, а избыточный эксцесс равен нулю. Выборки из нормального распределения имеют ожидаемую асимметрию 0 и ожидаемый избыточный эксцесс 0 (что соответствует эксцессу 3). Как показывает определение JB , любое отклонение от этого значения увеличивает статистику JB.

Для небольших выборок приближение хи-квадрат слишком чувствительно и часто отвергает нулевую гипотезу, когда она верна. Более того, распределение значений p отклоняется от равномерного распределения и становится унимодальным распределением с перекосом вправо , особенно для малых значений p . Это приводит к большой частоте ошибок первого рода . В таблице ниже показаны некоторые значения p , аппроксимированные распределением хи-квадрат, которые отличаются от их истинных альфа-уровней для небольших выборок.

(Эти значения были аппроксимированы с использованием моделирования Монте-Карло в Matlab )

В реализации MATLAB аппроксимация хи-квадрат для распределения статистики JB используется только для больших размеров выборки (> 2000). Для меньших выборок используется таблица, полученная на основе моделирования Монте-Карло , для интерполяции значений p . ^[1]

История

Статистические данные были получены Карлосом М. Харком и Анилом К. Бера во время работы над докторской диссертацией. Диссертация в Австралийском национальном университете.

Тест Жара – Бера в регрессионном анализе

По мнению Роберта Холла, Дэвида Лилиена и др. (1995) при использовании этого теста вместе с множественным регрессионным анализом правильная оценка будет следующей:

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n-k}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)}$

где n — количество наблюдений, а k — количество регрессоров при исследовании остатков уравнения.

Реализации

• ALGLIB включает реализацию теста Жарка-Бера на C++, C#, Delphi, Visual Basic и т. д.
• gretl включает реализацию теста Жарка – Бера.
• Джулия включает реализацию теста Жарке-Бера JarqueBeraTest в пакет HypothesisTests . ^[2]
• MATLAB включает реализацию теста Жарка – Бера, функцию «jbtest».
• Statsmodels Python включает реализацию теста Жарка-Бера «statsmodels.stats.stattools.py».
• R включает реализации теста Жарка-Бера: jarque.bera.test в пакете tseries , ^[3] например, и jarque.test в пакете moment . ^[4]
• Wolfram включает встроенную функцию JarqueBeraALMTest ^[5] и не ограничивается тестированием на основе распределения Гаусса.

Смотрите также

• Критерий К-квадрата Д'Агостино , еще один тест, основанный на эксцессе и асимметрии.

Рекомендации

1. «Анализ JB-теста в MATLAB». Матворкс . Проверено 24 мая 2009 г.
2. «Тесты временных рядов» . Сайт juliastats.org . Проверено 4 февраля 2020 г.
3. "tseries: Анализ временных рядов и вычислительные финансы" . Р-проект .
4. «моменты: моменты, кумулянты, асимметрия, эксцесс и связанные с ними тесты». Р-проект .
5. "JarqueBeraALMTest — Документация по языку Wolfram" . ссылка.wolfram.com . Проверено 26 октября 2017 г.

дальнейшее чтение

• Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1980). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии». Письма по экономике . 6 (3): 255–259. дои : 10.1016/0165-1765(80)90024-5.
• Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1981). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии: данные Монте-Карло». Письма по экономике . 7 (4): 313–318. дои : 10.1016/0165-1765(81)90035-5.
• Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1987). «Тест на нормальность наблюдений и остатков регрессии». Международный статистический обзор . 55 (2): 163–172. дои : 10.2307/1403192. JSTOR  1403192.
• Судить; и другие. (1988). Введение, теория и практика эконометрики (3-е изд.). стр. 890–892.
• Холл, Роберт Э.; Лилиен, Дэвид М.; и другие. (1995). Руководство пользователя EViews . п. 141.