Тест К-квадрат Д'Агостино

Мера соответствия в статистике

В статистике тест K2 Д'Агостино , названный в честь Ральфа Д'Агостино , является мерой соответствия отклонения от нормальности , то есть тест направлен на оценку совместимости ^{заданных} данных с нулевой гипотезой о том, что данные являются реализацией независимых, одинаково распределенных гауссовских случайных величин. Тест основан на преобразованиях выборочного эксцесса и асимметрии и имеет силу только против альтернатив, что распределение асимметрично и/или куртуазно.

Асимметрия и эксцесс

В дальнейшем {  x _i  } обозначает выборку из n наблюдений, g ₁ и g _{2 —} асимметрия и эксцесс выборки , m _j 's — центральные моменты j -й выборки , а — среднее значение выборки . Часто в литературе, посвященной проверке на нормальность , асимметрия и эксцесс обозначаются как √ β ₁ и β ₂ соответственно. Такая запись может быть неудобной, поскольку, например, √ β ₁ может быть отрицательной величиной. ${\displaystyle {\bar {x}}}$

Асимметрия и эксцесс выборки определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}&g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,\\&g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}-3\ .\end{aligned}}}$

Эти величины последовательно оценивают теоретическую асимметрию и эксцесс распределения соответственно. Более того, если выборка действительно происходит из нормальной популяции, то точные конечные выборочные распределения асимметрии и эксцесса сами могут быть проанализированы с точки зрения их средних значений μ ₁ , дисперсий μ ₂ , асимметрий γ ₁ и эксцесса γ ₂ . Это было сделано Пирсоном (1931), который вывел следующие выражения: ^{[ требуется лучший источник ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{1})=0,\\&\mu _{2}(g_{1})={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}},\\&\gamma _{1}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{3/2}}}=0,\\&\gamma _{2}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{2}}}-3={\frac {36(n-7)(n^{2}+2n-5)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}.\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{2})=-{\frac {6}{n+1}},\\&\mu _{2}(g_{2})={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}},\\&\gamma _{1}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{3/2}}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}},\\&\gamma _{2}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{2}}}-3={\frac {36(15n^{6}-36n^{5}-628n^{4}+982n^{3}+5777n^{2}-6402n+900)}{n(n-3)(n-2)(n+7)(n+9)(n+11)(n+13)}}.\end{aligned}}}$

Например, можно ожидать, что выборка размером n = 1000, взятая из нормально распределенной популяции, будет иметь асимметрию 0, SD 0,08 и эксцесс 0, SD 0,15 , где SD указывает на стандартное отклонение. ^{[ необходима ссылка ]}

Трансформированная выборочная асимметрия и эксцесс

Асимметрия выборки g ₁ и эксцесс g ₂ являются асимптотически нормальными. Однако скорость их сходимости к пределу распределения удручающе медленная, особенно для g ₂ . Например, даже при n = 5000 наблюдений эксцесс выборки g ₂ имеет как асимметрию, так и эксцесс приблизительно 0,3, что не является пренебрежимо малым. Чтобы исправить эту ситуацию, было предложено преобразовать величины g ₁ и g ₂ таким образом, чтобы сделать их распределение максимально близким к стандартному нормальному.

В частности, Д'Агостино и Пирсон (1973) предложили следующее преобразование для асимметрии выборки:

${\displaystyle Z_{1}(g_{1})=\delta \operatorname {asinh} \left({\frac {g_{1}}{\alpha {\sqrt {\mu _{2}}}}}\right),}$

где константы α и δ вычисляются как

${\displaystyle {\begin{aligned}&W^{2}={\sqrt {2\gamma _{2}+4}}-1,\\&\delta =1/{\sqrt {\ln W}},\\&\alpha ^{2}=2/(W^{2}-1),\end{aligned}}}$

и где μ ₂ = μ ₂ ( g ₁ ) — дисперсия g ₁ , а γ ₂ = γ ₂ ( g ₁ ) — эксцесс — выражения, приведенные в предыдущем разделе.

Аналогично, Энскомб и Глинн (1983) предложили преобразование для g ₂ , которое достаточно хорошо работает для выборок размером 20 и более:

${\displaystyle Z_{2}(g_{2})={\sqrt {\frac {9A}{2}}}\left\{1-{\frac {2}{9A}}-\left({\frac {1-2/A}{1+{\frac {g_{2}-\mu _{1}}{\sqrt {\mu _{2}}}}{\sqrt {2/(A-4)}}}}\right)^{\!1/3}\right\},}$

где

${\displaystyle A=6+{\frac {8}{\gamma _{1}}}\left({\frac {2}{\gamma _{1}}}+{\sqrt {1+4/\gamma _{1}^{2}}}\right),}$

и 1 = 1 ( г ₂ ) , 2 = 2 ₍ г _{2 )} , 1 ₌ 1 ( г 2 _{) — величины , вычисленные} Пирсоном _.

ОмнибусК2статистика

Статистики Z ₁ и Z ₂ можно объединить для создания всеобъемлющего теста, способного обнаружить отклонения от нормальности из-за асимметрии или эксцесса (D'Agostino, Belanger & D'Agostino 1990):

${\displaystyle K^{2}=Z_{1}(g_{1})^{2}+Z_{2}(g_{2})^{2}\,}$

Если нулевая гипотеза нормальности верна, то K ² приблизительно распределено по закону χ 2 с 2 степенями свободы.

Обратите внимание, что статистики g ₁ , g ₂ не являются независимыми, а только некоррелированными. Поэтому их преобразования Z ₁ , Z ₂ также будут зависимыми (Shenton & Bowman 1977), что делает обоснованность аппроксимации χ ² сомнительной. Моделирование показывает, что при нулевой гипотезе статистика теста K ² характеризуется

Смотрите также

• Тест Шапиро-Уилка
• Тест Харке-Бера

Ссылки

• Anscombe, FJ; Glynn, William J. (1983). «Распределение статистики эксцесса b ₂ для нормальной статистики». Biometrika . 70 (1): 227–234. doi :10.1093/biomet/70.1.227. JSTOR  2335960.
• D'Agostino, Ralph B. (1970). «Преобразование к нормальности нулевого распределения g ₁ ». Biometrika . 57 (3): 679–681. doi :10.1093/biomet/57.3.679. JSTOR  2334794.
• D'Agostino, Ralph B.; Pearson, ES (1973). "Тесты на отклонение от нормальности. Эмпирические результаты для распределений b ₂ и √b ₁ ". Biometrika . 60 (3): 613–622. JSTOR  2335012.
• D'Agostino, Ralph B.; Belanger, Albert; D'Agostino, Ralph B. Jr. (1990). "Предложение по использованию мощных и информативных тестов нормальности" (PDF) . The American Statistician . 44 (4): 316–321. doi :10.2307/2684359. JSTOR  2684359. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-03-25.
• Пирсон, Эгон С. (1931). «Заметка о тестах на нормальность». Biometrika . 22 (3/4): 423–424. doi :10.1093/biomet/22.3-4.423. JSTOR  2332104.
• Шентон, Л.Р.; Боуман, Кимико О. (1977). «Двумерная модель распределения √b ₁ и b ₂ ». Журнал Американской статистической ассоциации . 72 (357): 206–211. doi :10.1080/01621459.1977.10479940. JSTOR  2286939.