Тест соотношения

Критерий сходимости ряда

В математике тест отношения — это тест (или «критерий») сходимости ряда .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

где каждый член является действительным или комплексным числом , а n не равно нулю, когда _n велико . Тест был впервые опубликован Жаном Ле Роном Д'Аламбером и иногда известен как тест отношения Д'Аламбера или тест отношения Коши . ^[1]

Тест

Диаграмма решений для теста отношения

Обычная форма теста использует предел

Тест соотношения показывает, что:

• если L < 1, то ряд сходится абсолютно ;
• если L > 1, то ряд расходится ;
• если L = 1 или предел не существует, то тест неубедителен, поскольку существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, удовлетворяющие этому случаю.

Можно сделать тест отношения применимым к определенным случаям, когда предел L не существует, если используются предел выше и предел ниже . Критерии теста также могут быть уточнены, так что тест иногда будет окончательным, даже когда L = 1. Более конкретно, пусть

${\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$.

Тогда тест соотношения показывает, что: ^{[2] [3]}

• если R < 1, то ряд сходится абсолютно;
• если r > 1, ряд расходится; или, что эквивалентно, если для всех больших n (независимо от значения r ), ряд также расходится; это происходит потому, _что не равно нулю и возрастает, и, следовательно, n не стремится к нулю; ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle |a_{n}|}$
• В противном случае тест не является окончательным.

Если предел L в ( 1 ) существует, мы должны иметь L = R = r . Таким образом, исходный тест отношения является более слабой версией уточненного.

Примеры

Конвергентный, потому чтоЛ< 1

Рассмотрим серию

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

Применяя тест отношения, вычисляется предел

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}$

Поскольку этот предел меньше 1, ряд сходится.

Расходящийся, потому чтоЛ> 1

Рассмотрим серию

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

Подставим это в тест соотношения:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}$

Таким образом, ряд расходится.

Неубедительно, потому чтоЛ= 1

Рассмотрим три серии

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

Первый ряд ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) расходится, второй (центральный для проблемы Базеля ) сходится абсолютно, а третий ( переменный гармонический ряд ) сходится условно. Однако почленные отношения величин трех рядов равны    и    . Таким образом, во всех трех рядах предел равен 1. Это показывает, что при L = 1 ряд может сходиться или расходиться: тест отношения неубедителен. В таких случаях требуются более тонкие тесты для определения сходимости или расходимости. ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle 1,}$    ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Доказательство

В этом примере отношение соседних членов в синей последовательности сходится к L=1/2. Мы выбираем r  = (L+1)/2 = 3/4. Тогда синяя последовательность доминируется красной последовательностью r ^k для всех n ≥ 2. Красная последовательность сходится, поэтому синяя последовательность тоже сходится.

Ниже приведено доказательство валидности теста обобщенного отношения.

Предположим, что . Мы также предполагаем, что имеет бесконечные ненулевые члены, в противном случае ряд является просто конечной суммой, следовательно, он сходится. Тогда существует такой , что существует натуральное число, удовлетворяющее и для всех , потому что если такого не существует, то существует произвольно большое удовлетворяющее для каждого , тогда мы можем найти подпоследовательность, удовлетворяющую , но это противоречит тому факту, что является пределом, нижним для как , что подразумевает существование . Затем мы замечаем, что для , . Обратите внимание, что так как и , это подразумевает расходится, поэтому ряд расходится по тесту на n-й член . Теперь предположим . Аналогично приведенному выше случаю, мы можем найти натуральное число и , такие, что для . Тогда Ряд является геометрической прогрессией с знаменателем , следовательно, который конечен. Сумма является конечной суммой, следовательно, она ограничена, это означает, что ряд сходится по теореме о монотонной сходимости , а ряд сходится по тесту на абсолютную сходимость. Когда предел существует и равен , то это дает исходный тест на отношение. ${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle n_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle a_{n_{0}}\neq 0}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell }$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}+1}$ ${\displaystyle |a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|}$ ${\displaystyle \ell >1}$ ${\displaystyle \ell ^{n}\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n_{0}}\right|>0}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
${\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle c\in (R;1)}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|}$ ${\displaystyle n\geq n_{1}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.}$$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}}$ ${\displaystyle c\in (0;1)}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r=R=L}$

Расширения дляЛ= 1

Как видно из предыдущего примера, тест отношения может быть неопределенным, когда предел отношения равен 1. Однако расширения теста отношения иногда позволяют справиться с этим случаем. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]}

Во всех тестах ниже предполагается, что Σ a _n является суммой с положительным a _n . Эти тесты также могут быть применены к любому ряду с конечным числом отрицательных членов. Любой такой ряд может быть записан как:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

где N — отрицательный член с наивысшим индексом. Первое выражение справа — это частичная сумма, которая будет конечной, и поэтому сходимость всего ряда будет определяться свойствами сходимости второго выражения справа, которое может быть переиндексировано для формирования ряда всех положительных членов, начинающихся с n ₌ 1.

Каждый тест определяет параметр теста (ρ _n ), который определяет поведение этого параметра, необходимое для установления сходимости или расходимости. Для каждого теста существует более слабая форма теста, которая вместо этого накладывает ограничения на lim _n->∞ ρ _n .

Все тесты имеют области, в которых они не могут описать свойства сходимости Σa _n . Фактически, ни один тест сходимости не может полностью описать свойства сходимости ряда. ^{[4] [10]} Это происходит потому, что если Σa _n сходится, можно найти второй сходящийся ряд Σb _n , который сходится медленнее: т. е. он обладает свойством lim _n->∞ (b _n /a _n ) = ∞. Более того, если Σa _n расходится, можно найти второй расходящийся ряд Σb _n , который расходится медленнее: т. е. он обладает свойством lim _n->∞ (b _n /a _n ) = 0. Тесты сходимости по сути используют сравнительный тест на некотором конкретном семействе a _n и терпят неудачу для последовательностей, которые сходятся или расходятся медленнее.

Иерархия Де Моргана

Август Де Морган предложил иерархию тестов пропорциональных типов ^{[4] [9]}

Параметры теста отношения ( ) ниже обычно включают термины формы . Этот термин может быть умножен на , чтобы получить . Этот термин может заменить предыдущий термин в определении параметров теста, и полученные выводы останутся прежними. Соответственно, не будет проводиться различие между ссылками, которые используют одну или другую форму параметра теста. ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}$

1. Тест на отношение Даламбера

Первый тест в иерархии Де Моргана — это тест отношения, описанный выше.

2. Тест Раабе

Это расширение принадлежит Йозефу Людвигу Раабе . Определите:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$

(и некоторые дополнительные термины, см. Али, Блэкберн, Фелд, Дюрис (нет), Дюрис2) ^{[ требуется разъяснение ]}

Сериал будет: ^{[7] [10] [9]}

• Сходятся, когда существует c> 1 такое, что для всех n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Расходятся, когда для всех n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

Для предельной версии ^[12] серия будет:

• Сходятся, если (включая случай ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Расходятся, если . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Если ρ = 1, тест неубедителен.

Если вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхние и нижние пределы. ^[4] Серия будет:

• Сходятся, если ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

Доказательство теста Раабе

Определяя , нам не нужно предполагать, что предел существует; если , то расходится, а если сумма сходится. ${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$

Доказательство проводится по существу путем сравнения с . Предположим сначала, что . Конечно, если то для больших , то сумма расходится; предположим затем, что . Существует такое, что для всех , то есть . Таким образом , откуда следует, что для ; поскольку это показывает, что расходится. ${\displaystyle \sum 1/n^{R}}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\leq R}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

Доказательство другой половины полностью аналогично, большинство неравенств просто перевернуты. Нам нужно предварительное неравенство, чтобы использовать вместо простого , которое было использовано выше: Исправим и . Обратите внимание, что . Так что ; следовательно . ${\displaystyle 1+t<e^{t}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}$

Предположим теперь, что . Рассуждая, как в первом абзаце, используя неравенство, установленное в предыдущем абзаце, видим, что существует такое, что для ; поскольку это показывает, что сходится. ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

3. Тест Бертрана

Это расширение принадлежит Жозефу Бертрану и Августу де Моргану .

Определение:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}$

Тест Бертрана ^{[4] [10]} утверждает, что ряд будет:

• Сходятся, когда существует c>1 такое, что для всех n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• Расходятся, когда для всех n>N . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

В лимитированной версии серия будет:

• Сходятся, если (включая случай ρ = ∞) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• Расходятся, если . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Если ρ = 1, тест неубедителен.

Если вышеуказанный предел не существует, можно использовать верхние и нижние пределы. ^{[4] [9] [13]} Серия будет:

• Сходятся, если ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

4. Расширенный тест Бертрана

Это расширение, вероятно, впервые появилось у Маргарет Мартин в 1941 году. ^[14] Краткое доказательство, основанное на тесте Куммера и без технических предположений (таких как существование пределов, например), было предоставлено Вячеславом Абрамовым в 2019 году. ^[15]

Пусть будет целым числом, а обозначим -ю итерацию натурального логарифма , т.е. и для любого , . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Предположим, что отношение , когда велико, можно представить в виде ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}$

(Пустая сумма предполагается равной 0. При , тест сводится к тесту Бертрана.) ${\displaystyle K=1}$

Значение может быть представлено явно в виде ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}$

Расширенный тест Бертрана утверждает, что ряд

• Сходятся, когда существует такое , что для всех . ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle n>N}$
• Расходятся, когда для всех . ${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$ ${\displaystyle n>N}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

Для лимитной версии серия

• Сходятся, если (включая случай ) ${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$ ${\displaystyle \rho =\infty }$
• Расходятся, если . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• Если , тест неубедителен. ${\displaystyle \rho =1}$

Если вышеуказанный предел не существует, то можно использовать пределы выше и ниже. Серия

• Сходятся, если ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• В противном случае тест не будет окончательным.

Для получения информации о применении расширенного теста Бертрана см. процесс рождения–смерти .

5. Тест Гаусса

Это расширение принадлежит Карлу Фридриху Гауссу .

Предполагая, что _n > 0 и r > 1 , если можно найти ограниченную последовательность C _n такую, что для всех n : ^{[5] [7] [9] [10]}

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}$

то серия будет:

• Сходятся, если ${\displaystyle \rho >1}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \rho \leq 1}$

6. Тест Куммера

Это расширение принадлежит Эрнсту Куммеру .

Пусть ζ _n — вспомогательная последовательность положительных констант. Определим

${\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}$

Тест Куммера утверждает, что ряд будет: ^{[5] [6] [10] [11]}

• Сходятся, если существует такое , что для всех n>N. (Обратите внимание, это не то же самое, что сказать ) ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle \rho _{n}>0}$
• Расходится, если для всех n>N и расходится. ${\displaystyle \rho _{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$

Для лимитной версии серия будет: ^{[16] [7] [9]}

• Сходятся, если (включая случай ρ = ∞) ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Расходится, если и расходится. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$
• В противном случае тест не является окончательным.

Когда вышеуказанный предел не существует, может быть возможным использование пределов выше и ниже. ^[4] Серия будет

• Сходятся, если ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• Расходится, если и расходится. ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}$

Особые случаи

Все тесты в иерархии Де Моргана, за исключением теста Гаусса, можно легко рассматривать как частные случаи теста Куммера: ^[4]

• Для теста отношения пусть ζ _n = 1. Тогда:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}$

• Для теста Раабе пусть ζ _n =n. Тогда:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}$

• Для теста Бертрана пусть ζ _n =n ln(n). Тогда:

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}$

Используя и аппроксимируя для больших n , что пренебрежимо мало по сравнению с другими членами, можно записать: ${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}$ ${\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}$

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}$

• Для расширенного теста Бертрана пусть Из разложения в ряд Тейлора для больших приходим к приближению ${\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

где пустое произведение предполагается равным 1. Тогда,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}$

Следовательно,

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}$

Обратите внимание, что для этих четырех тестов, чем выше они находятся в иерархии Де Моргана, тем медленнее расходится ряд. ${\displaystyle 1/\zeta _{n}}$

Доказательство теста Куммера

Если тогда зафиксировать положительное число . Существует натуральное число такое, что для каждого ${\displaystyle \rho _{n}>0}$ ${\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}$

Так как для каждого ${\displaystyle a_{n+1}>0}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}$

В частности, для всех , что означает, что начиная с индекса последовательность монотонно убывает и положительна, что, в частности, означает, что она ограничена снизу 0. Следовательно, предел ${\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}$существует.

Это означает, что положительный телескопический ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}$сходится,

и так как для всех ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}$

по тесту прямого сравнения для положительных рядов, ряд является сходящимся. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$

С другой стороны, если , то существует N такое, что возрастает при . В частности, существует для , которое для всех , и поэтому расходится по сравнению с . ${\displaystyle \rho <0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}$

Модификация Тонга теста Куммера

Новая версия теста Куммера была установлена ​​Тонгом. ^[6] См. также ^{[8] [11] [17]} для дальнейших обсуждений и новых доказательств. Представленная модификация теоремы Куммера характеризует все положительные ряды, а сходимость или расходимость можно сформулировать в виде двух необходимых и достаточных условий, одного для сходимости и другого для расходимости.

• Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}$

• Ряд расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

Первое из этих утверждений можно упростить следующим образом: ^[18]

• Ряд сходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}$

Второе утверждение можно упростить аналогичным образом:

• Ряд расходится тогда и только тогда, когда существует положительная последовательность , , такая, что и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

Однако это становится бесполезным, поскольку условие в этом случае сводится к исходному утверждению ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}$

Тест на отношение Фринка

Другой тест отношения, который можно установить в рамках теоремы Куммера, был представлен Оррином Фринком ^[19] в 1948 году.

Предположим, что есть последовательность в , ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

• Если , то ряд сходится абсолютно. ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$
• Если существует такое, что для всех , то расходится. ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$

Этот результат сводится к сравнению со степенным рядом и может быть связан с тестом Раабе. ^[20] ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}$

Второй тест Али на соотношение

Более точным тестом отношения является второй тест отношения: ^{[7] [9]} Для определения: ${\displaystyle a_{n}>0}$

По результатам второго теста на соотношение ряд будет:

• Сходятся, если ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• Расходятся, если ${\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}$
• Если да, то тест не дает окончательных результатов. ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}}$

Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Определить:

Затем серия:

• Сходятся, если ${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}$
• Если да, то тест не дает окончательных результатов. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}$

Алимтест отношения th

Этот тест является прямым расширением второго теста отношения. ^{[7] [9]} Для и положительно определим: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

По тесту на отношение th ряд будет: ${\displaystyle m}$

• Сходятся, если ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• Расходятся, если ${\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}$
• Если да, то тест не дает окончательных результатов. ${\displaystyle L={\frac {1}{m}}}$

Если вышеуказанные пределы не существуют, можно использовать верхние и нижние пределы. Для определения: ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1}$

Затем серия:

• Сходятся, если ${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• Расходятся, если ${\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}$
• Если , то тест неубедителен. ${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}$

Критерий φ-отношения Али--Дойче Коэна

Этот тест является расширением теста отношения th. ^[21] ${\displaystyle m}$

Предположим, что последовательность является положительной убывающей. ${\displaystyle a_{n}}$

Пусть такое, что существует. Обозначим , и предположим . ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Предположим также, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}$

Затем серия:

• Сходятся, если ${\displaystyle L<\alpha }$
• Расходятся, если ${\displaystyle L>\alpha }$
• Если , то тест неубедителен. ${\displaystyle L=\alpha }$

Смотрите также

• Корневой тест
• Радиус сходимости

Сноски

1. Вайсштейн, Эрик В. «Тест соотношения». Математический мир .
2. Рудин 1976, §3.34
3. Апостол 1974, §8.14
4. Бромвич, Т. Дж. И'А (1908). Введение в теорию бесконечных рядов . Merchant Books.
5. Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов. Лондон: Blackie & Son Ltd.
6. Tong, Jingcheng (май 1994). «Тест Куммера дает характеристики сходимости или расходимости всех положительных рядов». The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450–452. doi :10.2307/2974907. JSTOR  2974907.
7. Ali, Sayel A. (2008). «Тест отношения mth: новый тест сходимости рядов». The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514–524. doi :10.1080/00029890.2008.11920558. S2CID  16336333. Получено 4 сентября 2024 г.
8. Самельсон, Ганс (ноябрь 1995 г.). «Еще о тесте Куммера». The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817–818. doi :10.2307/2974510. JSTOR  2974510.
9. Блэкберн, Кайл (4 мая 2012 г.). "Тест сходимости m-го отношения и другие нетрадиционные тесты сходимости" (PDF) . Колледж искусств и наук Вашингтонского университета . Получено 27 ноября 2018 г. .
10. Дуриш, Франтишек (2009). Бесконечная серия: Критерии сходимости (бакалаврская работа). Кафедра информатики, Факультет математики, Физика и информатика, Коменский университет, Братислава . Проверено 28 ноября 2018 г.
11. Дюриш, Франтишек (2 февраля 2018 г.). «О тесте сходимости Куммера и его связи с базовыми сравнительными тестами». arXiv : 1612.05167 [math.HO].
12. Вайсштейн, Эрик В. «Тест Раабе». Математический мир .
13. Вайсштейн, Эрик В. «Тест Бертрана». Математический мир .
14. Мартин, Маргарет (1941). "Последовательность предельных тестов для сходимости рядов" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 47 (6): 452–457. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07477-X .
15. Абрамов, Вячеслав М. (май 2020 г.). «Расширение теста Бертрана–Де Моргана и его применение». The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444–448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551. S2CID  199552015.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Тест Куммера». Математический мир .
17. Абрамов, Вячеслав, М. (21 июня 2021 г.). «Простое доказательство теоремы Тонга». arXiv : 2106.13808 [math.HO].{{cite arXiv}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Абрамов, Вячеслав М. (май 2022 г.). «Оценка суммы сходящегося положительного ряда» (PDF) . Публикации Математического института . Новая серия. 111 (125): 41–53. дои : 10.2298/PIM2225041A. S2CID  237499616.
19. Фринк, Оррин (октябрь 1948). «Тест отношения». Бюллетень Американского математического общества . 54 (10): 953–953.
20. Старк, Марсели (1949). «О коэффициенте теста Фринка». Коллоквиум Математикум . 2 (1): 46–47.
21. Али, Сайель; Коэн, Марион Дойче (2012). «тесты фи-отношения». Элементы математики . 67 (4): 164–168. дои : 10.4171/EM/206 .

Ссылки

• д'Аламбер, Ж. (1768), Opuscules, vol. В., стр. 171–183..
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Кнопп, Конрад (1956), Бесконечные последовательности и ряды , Нью-Йорк: Dover Publications, Bibcode : 1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• «Критерий Бертрана», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Критерий Гаусса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Критерий Куммера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уотсон, Г. Н.; Уиттакер, Э. Т. (1963), Курс современного анализа (4-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.