альтернатива сиськи

Математическая теорема в теории групп

В математике альтернатива Титса , названная в честь Жака Титса , является важной теоремой о структуре конечно порождённых линейных групп .

Заявление

Теорема, доказанная Титсом ^[1] , формулируется следующим образом.

Теорема  —  Пусть — конечно порожденная линейная группа над полем. Тогда возникают две следующие возможности: ${\displaystyle G}$

• либо виртуально разрешима ( т.е. имеет разрешимую подгруппу конечного индекса ) ${\displaystyle G}$
• или она содержит неабелеву свободную группу (т.е. имеет подгруппу , изоморфную свободной группе по двум образующим).

Последствия

Линейная группа не является аменабельной тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу (таким образом, гипотеза фон Неймана , хотя и неверна в общем случае, верна для линейных групп).

Альтернатива Титса является важным ингредиентом ^[2] в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста . Фактически альтернатива по существу устанавливает результат для линейных групп (она сводит его к случаю разрешимых групп, с которыми можно справиться элементарными средствами).

Обобщения

В геометрической теории групп говорят , что группа G удовлетворяет альтернативе Титса , если для каждой подгруппы H группы G либо H виртуально разрешима, либо H содержит неабелеву свободную подгруппу (в некоторых версиях определения это условие требуется выполнять только для всех конечно порождённых подгрупп группы G ).

Примерами групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, которые либо не являются линейными, либо, по крайней мере, не известны как линейные, являются:

• Гиперболические группы
• Картографирование групп классов ; ^{[3] [4]}
• Вых(Фн) ; ^[5]
• Некоторые группы бирациональных преобразований алгебраических поверхностей . ^[6]

Примерами групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса, являются:

• группа Григорчука ;
• Группа Томпсона F.

Доказательство

Доказательство исходной альтернативы Титса ^[1] заключается в рассмотрении замыкания Зарисского в . Если оно разрешимо, то группа разрешима. В противном случае рассматривается образ в компоненте Леви. Если он некомпактен, то доказательство завершается аргументом пинг-понга . Если он компактен, то либо все собственные значения элементов в образе являются корнями из единицы, и тогда образ конечен, либо можно найти вложение , в котором можно применить стратегию пинг-понга. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

Обратите внимание, что доказательство всех приведенных выше обобщений также основано на аргументе в стиле пинг-понга.

Ссылки

1. Титс, Дж. (1972). «Свободные подгруппы в линейных группах». Журнал алгебры . 20 (2): 250–270. doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0 .
2. Титс, Жак (1981). «Группы круассановых полиномов». Семинар Бурбаки (на французском языке). 1980/1981.
3. Иванов, Николай (1984). «Алгебраические свойства модулярной группы Тейхмюллера». Докл. Акад. Наук СССР . 275 : 786–789.
4. Маккарти, Джон (1985). «"Титс-альтернатива" для подгрупп классов отображения поверхности». Trans. Amer. Math. Soc . 291 : 583–612. doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8 .
5. Бествина , Младен; Фейн, Марк; Гендель, Майкл (2000). «Альтернатива Титса для Out( F _n ) I: Динамика экспоненциально растущих автоморфизмов». Annals of Mathematics . 151 (2): 517–623. arXiv : math/9712217 . doi :10.2307/121043. JSTOR  121043.
6. Кантат, Серж (2011). «Sur les groupes de Transformations birationnelles des Surfaces». Энн. Математика. (на французском языке). 174 : 299–340. дои : 10.4007/анналы.2011.174.1.8 .