Закон Тициуса – Боде

Закон Тициуса -Боде (иногда называемый просто законом Боде ) представляет собой шаблонное предсказание расстояния между планетами в любой данной планетарной системе . Формула предполагает, что, простираясь наружу, каждая планета должна находиться примерно в два раза дальше от Солнца, чем предыдущая. Гипотеза правильно предсказала орбиты Цереры (в поясе астероидов ) и Урана , но не смогла предсказать орбиту Нептуна . Он назван в честь Иоганна Даниэля Титиуса и Иоганна Элерта Боде .

Более поздние работы Блэгга и Ричардсона существенно пересмотрели исходную формулу и сделали предсказания, которые впоследствии были подтверждены новыми открытиями и наблюдениями. Именно эти переформулировки предлагают «лучшие феноменологические представления расстояний, с помощью которых можно исследовать теоретическое значение законов типа Тициуса-Боде». ^[1]

Оригинальная формула

Закон соотносит большую полуось каждой планеты наружу от Солнца в таких единицах, что большая полуось Земли равна 10: $~a_{n}~$

~a=4+x~

где таково, что, за исключением первого шага, каждое значение в два раза превышает предыдущее. Существует и другое представление формулы: $~x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots ~$

~a=4+3\times 2^{n}~

где Полученные значения можно разделить на 10, чтобы преобразовать их в астрономические единицы ( AU ), в результате чего получится выражение: $~n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.$

a=0.4+0.3\times 2^{n}~.

По прогнозам , для дальних внешних планет, за пределами Сатурна , каждая планета будет примерно в два раза дальше от Солнца, чем предыдущий объект. В то время как закон Тициуса-Боде предсказывает, что Сатурн , Уран , Нептун и Плутон находятся примерно в 10, 20, 39 и 77 а.е. , фактические значения ближе к 10, 19, 30, 40 а.е.^[а]

Происхождение и история

Первое упоминание о ряде, аппроксимирующем закон Боде, встречается в учебнике Д. Грегори (1715 г.): ^[2]

«... предположим, что расстояние от Земли до Солнца разделено на десять равных частей, из них расстояние до Меркурия будет около четырех, до Венеры - семь, до Марса - пятнадцать, до Юпитера - пятьдесят две, а до Сатурна - девяносто. пять." ^[3]

Похожее предложение, вероятно, перефразированное из Грегори (1715), ^[2]^[3], появляется в работе, опубликованной К. Вольфом в 1724 году.

В 1764 г. К. Бонне писал: ^[4]

«Мы знаем семнадцать планет [то есть больших планет и их спутников], входящих в состав нашей солнечной системы; но мы не уверены, что их больше нет». ^[4]^[3]

В своем переводе работы Бонне в 1766 году Дж. Д. Титиус добавил к приведенному выше утверждению два собственных абзаца. Вставки были помещены внизу страницы 7 и вверху страницы 8. Нового абзаца нет ни в оригинальном французском тексте Бонне, ни в переводах работы на итальянский и английский языки.

Вставленный Тицием текст состоит из двух частей. Первая часть объясняет последовательность расстояний планет от Солнца:

Обратите внимание на расстояния планет друг от друга и осознайте, что почти все они отделены друг от друга в пропорции, соответствующей их телесным величинам. Разделите расстояние от Солнца до Сатурна на 100 частей; тогда Меркурий отделен от Солнца на четыре такие части, Венеру на 4+3=7 таких частей, Землю на 4+6=10, Марс на 4+12=16. Но заметьте, что от Марса к Юпитеру происходит отклонение от этой столь точной прогрессии. От Марса следует пространство из 4+24=28 таких частей, но пока там не было обнаружено ни одной планеты. Но следовало ли лорду-архитектору оставить это место пустым? Нисколько. Предположим поэтому, что это пространство без сомнения принадлежит еще неоткрытым спутникам Марса, добавим еще, что, возможно, у Юпитера еще есть вокруг себя какие-то более мелкие спутники, еще не обнаруженные ни одним телескопом. Рядом с этим для нас еще неизведанным пространством возвышается сфера влияния Юпитера в 4+48=52 частях; и у Сатурна в 4+96=100 частей. ^{[ нужна цитата ]}

В 1772 году Дж. Э. Боде , которому тогда было двадцать пять лет, опубликовал астрономический сборник, ^[5] в который он включил следующую сноску, цитируя Тиция (в более поздних изданиях): ^[b]^[6]

Этот последний пункт, по-видимому, особенно следует из удивительного соотношения, которое известные шесть планет наблюдают в своих расстояниях от Солнца. Пусть расстояние от Солнца до Сатурна примем за 100, тогда Меркурий отстоят от Солнца на 4 таких части. Венера — 4+3=7. Земля 4+6=10. Марс 4+12=16. Теперь в этом столь упорядоченном развитии возникает пробел. За Марсом следует пространство из 4+24=28 частей, в котором еще не была видна ни одна планета. Можно ли поверить, что Основатель Вселенной оставил это пространство пустым? Конечно, нет. Отсюда мы приближаемся к расстоянию Юпитера на 4+48=52 части и, наконец, к расстоянию Сатурна на 4+96=100 частей. ^[6]

Эти два утверждения, несмотря на все их своеобразное выражение, а также исходя из радиусов, используемых для орбит, похоже, происходят из античного алгоритма коссиста . ^[с]

Было обнаружено множество прецедентов, существовавших еще до семнадцатого века. ^{[ нужна цитата ]} Тициус был учеником немецкого философа К. Ф. фон Вольфа (1679–1754), а вторая часть текста, который Тициус вставил в работу Бонне, находится в книге фон Вольфа (1723), ^[7] предполагающей, что Тиций узнал от него об этом. В литературе двадцатого века о законе Тициуса-Боде авторство приписывают фон Вольфу. ^{[ нужна цитация ]} Предыдущая версия была написана Д. Грегори (1702), ^[8] , в которой последовательность планетарных расстояний 4, 7, 10, 16, 52 и 100 стала геометрической прогрессией с соотношением 2. Это ближайшая формула Ньютона, которую также цитировали Бенджамин Мартин (1747) ^[9] и Томас Серда (ок. 1760) ^[10] за несколько лет до расширенного перевода Титиусом книги Бонне на немецкий язык (1766). В течение следующих двух столетий последующие авторы продолжали представлять свои собственные модифицированные версии, очевидно, не зная о предыдущих работах. ^[1]

Титиус и Боде надеялись, что закон приведет к открытию новых планет, и действительно, открытие Урана и Цереры , расстояния которых хорошо соответствуют закону, способствовало известности закона. Однако расстояние до Нептуна было очень разным, и действительно, Плутон, который больше не считается планетой, находится на среднем расстоянии, которое примерно соответствует тому, которое закон Тициуса-Боде предсказал для следующей планеты от Урана.

На момент первоначальной публикации закону примерно удовлетворяли все известные тогда планеты – т. е. от Меркурия до Сатурна – с промежутком между четвертой и пятой планетами. Викариус (Иоганн Фридрих) Вурм (1787) предложил модифицированную версию закона Тициуса-Боде, которая учитывала известные на тот момент спутники Юпитера и Сатурна и лучше предсказала расстояние до Меркурия. ^[11]

Закон Тициуса-Боде считался интересным, но не имеющим большого значения до открытия Урана в 1781 году, которое почти точно вписывается в этот ряд. Основываясь на этом открытии, Боде призвал своих современников искать пятую планету. Церера , крупнейший объект в поясе астероидов , была найдена в предсказанном Боде положении в 1801 году.

На тот момент закон Боде получил широкое признание, пока в 1846 году Нептун не был обнаружен в месте, не соответствующем закону. Одновременно из-за большого количества обнаруженных в поясе астероидов Церера перестала быть крупной планетой. В 1898 году астроном и логик К.С. Пирс использовал закон Боде как пример ошибочных рассуждений. ^[12]

Открытие Плутона в 1930 году еще больше запутало проблему: хотя он и был далёк от предсказанного согласно закону Боде положения, он был очень близок к положению, которое закон определил для Нептуна. Последующее открытие пояса Койпера – и в частности объекта Эрида , который более массивен, чем Плутон, но не соответствует закону Боде – еще больше дискредитировало формулу. ^[13]

Данные

Закон Тициуса-Боде предсказывает, что планеты будут находиться на определенных расстояниях в астрономических единицах , которые можно сравнить с наблюдаемыми данными для планет и двух карликовых планет в Солнечной системе:

¹ Для больших k каждое расстояние по правилу Тициуса-Боде примерно в два раза превышает предыдущее значение. Следовательно, произвольную планету можно найти в пределах от -25% до +50% от одного из предсказанных положений. При малых k предсказанные расстояния не удваиваются полностью, поэтому диапазон потенциального отклонения меньше. Обратите внимание, что большая полуось пропорциональна 2/3 степени орбитального периода . Например, планеты в орбитальном резонансе 2:3 (например, плутино относительно Нептуна ) будут различаться по расстоянию на (2/3) ^2/3 = -23,69% и +31,04% относительно друг друга.
² Церера и Плутон — скорее карликовые, чем большие планеты .

Формулировка Блэгга

В 1913 году М. А. Благг , оксфордский астроном, вновь обратился к этому закону. ^[14] Она проанализировала орбиты планетной системы и спутниковых систем внешних газовых гигантов, Юпитера, Сатурна и Урана. Она изучила журнал расстояний, пытаясь найти лучшую «среднюю» разницу.

Ее анализ привел к другой формуле:

\ {\mathsf {distance}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}~.

Обратите внимание, в частности, что в формуле Благага закон Солнечной системы лучше всего был представлен прогрессией $1,7275$ , а не исходным значением $2$ , используемым Тициусом, Боде и другими.

Благг исследовал спутниковую систему Юпитера , Сатурна и Урана и обнаружил в каждой из них одинаковый коэффициент прогрессии $1,7275$ .

Однако окончательная форма поправочной функции $f$ не была указана в статье Благага 1913 года, при этом Благг отметил, что приведенные эмпирические цифры предназначены только для иллюстрации. Эмпирическая форма была представлена в виде графика (причина того, что точки на кривой так близко соответствуют эмпирическим данным для объектов, обнаруженных до 1913 года, заключается в том, что они являются эмпирическими данными).

Найти формулу, которая точно соответствовала бы эмпирической кривой, оказалось сложно. Фурье-анализ формы привел к следующей семичленной аппроксимации: ^[14]

${\begin{aligned}\ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.4594\;+\;\;&0.396\ \cos \!{\bigl (}\ \theta -27.4^{\circ }\ {\bigr )}\;+\;0.168\ \cos \!{\bigl (}\ 2\ (\ \theta -60.4^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.062\ \cos \!{\bigl (}\ 3\ (\ \theta -28.1^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;\\\;+\;\;&0.053\ \cos \!{\bigl (}\ 4\ (\ \theta -77.2^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.009\ \cos \!{\bigl (}\ 5\ (\ \theta -22^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.012\ \cos \!{\bigl (}\ 7\ (\ \theta -40.4^{\circ })\ {\bigr )}~.\end{aligned}}$

После дальнейшего анализа Благг дал следующую более простую формулу; однако цена более простой формы заключается в том, что она менее точно соответствует эмпирическим данным. Благг представила его в ненормализованной форме в своей статье, что оставляет относительные размеры $A$ , $B$ и $f$ неоднозначными; здесь показано в нормализованной форме (т.е. эта версия $f$ масштабируется для получения значений от $0$ до $1$ включительно): ^[15]

$\ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.249\;+\;0.860\ \left({\frac {\ \cos \ \Psi \ }{\ 3-\cos \!\left(\ 2\ \Psi \ \right)\ }}\;+\;{\frac {1}{\ 6-4\ \cos \!\left(\ 2\ \Psi -60^{\circ }\right)\ }}\right)\ ,$

где $\ \Psi \equiv \theta -27.5^{\circ }~.$

Ни одна из этих формул для функции $f$ не используется в приведенных ниже расчетах: Здесь расчеты основаны на графике функции $f$ , построенном на основе наблюдаемых данных.

Ее статья была опубликована в 1913 году и была забыта до 1953 года, когда А. Э. Рой наткнулся на нее во время исследования другой проблемы. ^[16] Рой отметил, что сама Благг предположила, что ее формула может дать приблизительные средние расстояния до других тел, еще не открытых в 1913 году. С тех пор было открыто шесть тел в трех системах, исследованных Благгом: Плутон , Синопа ( Юпитер IX ), Лисифея . ( J X ), Карме ( J XI ), Ананке ( J XII ) и Миранда ( Уран V ).

Рой обнаружил, что все шестеро подходят друг другу очень близко. Это могло быть преувеличением: из этих шести тел четыре находились на одной позиции с объектами, которые были известны уже в 1913 году; что касается двух других, то оценка Плутона была завышена примерно на 6%; а позже стала очевидной недооценка Миранды на 6%. ^[15]

Сравнение формулировки Блага с наблюдением

Тела в скобках не были известны в 1913 году, когда Блэгг писала свою статью. Некоторые из расчетных расстояний в системах Сатурна и Урана не очень точны. Это связано с тем, что низкие значения константы $B$ в таблице выше делают их очень чувствительными к точному виду функции $f$ .

Richardson formulation

In a 1945 Popular Astronomy magazine article,^[17]the science writer D.E. Richardson apparently independently arrived at the same conclusion as Blagg: That the progression ratio is $1.728$ rather than $2$ . His spacing law is in the form:

$\ R_{n}={\bigl (}\ 1.728\ {\bigr )}^{n}\ \varrho _{n}(\theta _{n})\ ,$

where $\varrho _{n}$ is an oscillatory function with period $2\pi$ , representing distances $\varrho _{n}$ from an off-centered origin to points on an ellipse.

Historical inertia

Nieto, who conducted the first modern comprehensive review of the Titius–Bode Law,^[18] noted that "The psychological hold of the Law on astronomy has been such that people have always tended to regard its original form as the one on which to base theories." He was emphatic that "future theories must rid themselves of the bias of trying to explain a progression ratio of 2":

One thing which needs to be emphasized is that the historical bias towards a progression ratio of 2 must be abandoned. It ought to be clear that the first formulation of Titius (with its asymmetric first term) should be viewed as a good first guess. Certainly, it should not necessarily be viewed as the best guess to refer theories to. But in astronomy the weight of history is heavy ... Despite the fact that the number 1.73 is much better, astronomers cling to the original number 2.^[1]

Theoretical explanations

No solid theoretical explanation underlies the Titius–Bode law – but it is possible that, given a combination of orbital resonance and shortage of degrees of freedom, any stable planetary system has a high probability of satisfying a Titius–Bode-type relationship. Since it may be a mathematical coincidence rather than a "law of nature", it is sometimes referred to as a rule instead of "law".^[19] Astrophysicist Alan Boss states that it is just a coincidence, and the planetary science journal Icarus no longer accepts papers attempting to provide improved versions of the "law".^[13]

Orbital resonance from major orbiting bodies creates regions around the Sun that are free of long-term stable orbits. Results from simulations of planetary formation support the idea that a randomly chosen, stable planetary system will likely satisfy a Titius–Bode law.^[20]

Dubrulle and Graner^[21]^[22] showed that power-law distance rules can be a consequence of collapsing-cloud models of planetary systems possessing two symmetries: rotational invariance (i.e., the cloud and its contents are axially symmetric) and scale invariance (i.e., the cloud and its contents look the same on all scales). The latter is a feature of many phenomena considered to play a role in planetary formation, such as turbulence.

Natural satellite systems and exoplanetary systems

Only a limited number of systems are available upon which Bode's law can presently be tested; two solar planets have enough large moons that probably formed in a process similar to that which formed the planets: The four large satellites of Jupiter and the biggest inner satellite (i.e., Amalthea) cling to a regular, but non-Titius-Bode, spacing, with the four innermost satellites locked into orbital periods that are each twice that of the next inner satellite. Similarly, the large moons of Uranus have a regular but non-Titius-Bode spacing.^[23]However, according to Martin Harwit

"a slight new phrasing of this law permits us to include not only planetary orbits around the Sun, but also the orbits of moons around their parent planets."^[24]

The new phrasing is known as “Dermott's law”.

Of the recent discoveries of extrasolar planetary systems, few have enough known planets to test whether similar rules apply. An attempt with 55 Cancri suggested the equation

~a_{n}=0.0142\cdot \mathrm {e} ^{\left(\,0.9975\,n\,\right)}=0.0142\cdot {\bigl (}\,2.7115\,{\bigr )}^{n}~,

and controversially^[25]predicts an undiscovered planet or asteroid field for $~n=5~$ at 2 AU.^[26]Furthermore, the orbital period and semi-major axis of the innermost planet in the 55 Cancri system have been greatly revised (from 2.817 days to 0.737 days and from 0.038 AU to 0.016 AU, respectively) since the publication of these studies.^[27]

Recent astronomical research suggests that planetary systems around some other stars may follow Titius-Bode-like laws.^[28]^[29]Bovaird & Lineweaver (2013)^[30]applied a generalized Titius-Bode relation to 68 exoplanet systems that contain four or more planets. They showed that 96% of these exoplanet systems adhere to a generalized Titius-Bode relation to a similar or greater extent than the Solar System does. The locations of potentially undetected exoplanets are predicted in each system.^[30]

Subsequent research detected 5 candidate planets from the 97 planets predicted for the 68 planetary systems. The study showed that the actual number of planets could be larger. The occurrence rates of Mars- and Mercury-sized planets are currently unknown, so many planets could be missed due to their small size. Other possible reasons that may account for apparent discrepancies include planets that do not transit the star or circumstances in which the predicted space is occupied by circumstellar disks. Despite these types of allowances, the number of planets found with Titius–Bode law predictions was lower than expected.^[31]

In a 2018 paper, the idea of a hypothetical eighth planet around TRAPPIST-1 named "TRAPPIST‑1i", was proposed by using the Titius–Bode law. TRAPPIST‑1i had a prediction based exclusively on the Titius–Bode law with an orbital period of 27.53 ± 0.83 days.^[32]

Finally, raw statistics from exoplanetary orbits strongly point to a general fulfillment of Titius-Bode-like laws (with exponential increase of semi-major axes as a function of planetary index) in all the exoplanetary systems; when making a blind histogram of orbital semi-major axes for all the known exoplanets for which this magnitude is known, and comparing it with what should be expected if planets distribute according to Titius-Bode-like laws, a significant degree of agreement (i.e., 78%)^[33]is obtained.^[34]

Footnotes

^ The spacing seems to transition from the complicated Titius–series to simple equal-spacing starting at Saturn, with Neptune being the first major planet that does not fit the Titius–Bode rule.
^ Bode's footnote was initially unsourced, but in later versions credited to Titius, and in Bode’s memoir he refers to Titius, clearly recognizing Titius' priority.
^ The cossists were experts in calculations of all kinds and were employed by merchants and businessmen to solve complex accounting problems. Their name derives from the Italian word cosa, meaning "thing", because they used symbols to represent an unknown quantity, similar to the way modern mathematicians use $\,x\;.$ Professional problem-solvers of this era invented their own clever methods for performing calculations and would do their utmost to keep these methods secret in order to maintain a reputation as the only person capable of solving a particular problem.^{[citation needed]}

References

^ a b c Nieto, Michael Martin (1970). "Conclusions about the Titius–Bode Law of Planetary Distances". Astron. Astrophys. 8: 105–111. Bibcode:1970A&A.....8..105N.
^ a b Gregory, D. (1715). The Elements of Astronomy.
^ a b c "Where should the planets be? The law of proportionalities". Dawn. Archived from the original on 7 March 2016. Retrieved 16 March 2018.
^ a b Bonnet, C. (1764). Contemplation de la Nature (in French).
^ Bode, Johann Elert (1772). Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels [Manual for Knowing the Starry Sky] (in German) (2nd ed.).
^ a b Hoskin, Michael (26 June 1992). "Bodes' law and the discovery of Ceres". Observatorio Astronomico di Palermo "Giuseppe S. Vaiana". Retrieved 5 July 2007.
^ von Wolf, C.F. (1723). Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur (in German).
^ Gregory, David (1702). Astronomiae physicae et geometricae elementa (in Latin).
^ Martin, Benjamin (1747). Philosophia Britannica.
^ Cerdà, Tomàs (c. 1760). Tratado de Astronomía (in Spanish).
^ Wurm, Vikarius (Johann Friedrich) (1787). Bode, J.E. (ed.). "Verschiedene astronomische Bemerkungen und eine Abhandlung über mögliche Planeten und Kometen unsers Sonnensystems". Astronomisches Jahrbuch. 15. Hofbuchdrucker, Berlin: George Jacob Decker, Königl: 162–73.
^ Peirce, C.S.; Ketner, Kenneth Laine (1992). Reasoning and the logic of things. The Cambridge conferences lectures of 1898. Harvard University Press. pp. 194–196. ISBN 978-0-674-74966-5. HUP catalog page Archived 2 January 2010 at the Wayback Machine.
^ a b Boss, Alan (October 2006). "Ask Astro". Astronomy. Vol. 30, no. 10. p. 70.
^ a b Blagg, M.A. (1913). "On a suggested substitute for Bode's law". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 73: 414–22. doi:10.1093/mnras/73.6.414.
^ a b Lobban, G.G.; Roy, A.E.; Brown, J.C. (October 1982). "A review of Blagg's formula in the light of recently discovered planetary moons and rings". Journal of the British Astronomical Association. 92 (6): 260–263. Bibcode:1982JBAA...92..260L.
^ Malcolm, Roy (1955). "Is Bode's law a coincidence?". Astounding Science Fiction. LV (5).
^ Richardson, D.E. (1945). "Distances of planets from the Sun and of satellites from their primaries in the satellite systems of Jupiter, Saturn, and Uranus". Popular Astronomy. Vol. 53. pp. 14–26.
^ Nieto, Michael Martin (1972). The Titius–Bode Law of Planetary Distances – Its History and Theory (1st ed.). Pergamon Press. doi:10.1016/C2013-0-02478-4. ISBN 978-0-08-016784-8.
^ Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (2007). An Introduction to Modern Astrophysics. Pearson Addison-Wesley. pp. 716–717. ISBN 978-0-8053-0402-2.
^ Wayne Hayes; Scott Tremaine (October 1998). "Fitting selected random planetary systems to Titius–Bode laws" (PDF). Icarus. 135 (2): 549. arXiv:astro-ph/9710116. Bibcode:1998Icar..135..549H. CiteSeerX 10.1.1.27.8254. doi:10.1006/icar.1998.5999. S2CID 15015134.
^ F. Graner; B. Dubrulle (1994). "Titius–Bode laws in the solar system. Part I: Scale invariance explains everything". Astronomy and Astrophysics. 282 (1): 262–268. Bibcode:1994A&A...282..262G.
^ B. Dubrulle; F. Graner (1994). "Titius–Bode laws in the solar system. Part II: Build your own law from disk models". Astronomy and Astrophysics. 282 (1): 269–276. Bibcode:1994A&A...282..269D.
^ Cohen, Howard L. (May 1996). "The Titius-Bode relation revisited". FirstLight (monthly newsletter article). Gainesville, FL: Alachua Astronomy Club. Archived from the original on 28 September 2007. Retrieved 24 February 2008 – via Florida Stars (floridastars.org).
^ Harwit, Martin (1998). Astrophysical Concepts. Springer. pp. 27–29. ISBN 9780387949437 – via Google books.
^ Kotliarov, Ivan (21 June 2008). "The Titius-Bode law revisited but not revived". arXiv:0806.3532 [physics.space-ph].
^ Poveda, Arcadio & Lara, Patricia (2008). "The exo-planetary system of 55 Cancri and the Titus–Bode law" (PDF). Revista Mexicana de Astronomía y Astrofísica (44): 243–246.
^ Dawson, Rebekah I.; Fabrycky, Daniel C. (2010). "Radial velocity planets de-aliased. A new, short period for super-Earth 55 Cnc e". Astrophysical Journal. 722 (1): 937–953. arXiv:1005.4050. Bibcode:2010ApJ...722..937D. doi:10.1088/0004-637X/722/1/937. S2CID 118592734.
^ "Section 8.2: Extrasolar Titius-Bode-like laws?" (PDF). European Southern Observatory (ESO.org) (Press release). The HARPS search for southern extra-solar planets. 23 August 2010. Retrieved 24 August 2010.
^ Lara, Patricia (2012). On the structural law of exoplanetary systems. ICNAAM 2012: International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. AIP Conference Proceedings. Vol. 1479. pp. 2356–2359. Bibcode:2012AIPC.1479.2356L. doi:10.1063/1.4756667.
^ a b Bovaird, Timothy; Lineweaver, Charles H. (2013). "Exoplanet predictions based on the generalized Titius-Bode relation". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 435 (2): 1126. arXiv:1304.3341. Bibcode:2013MNRAS.435.1126B. doi:10.1093/mnras/stt1357.
^ Huang, Chelsea X.; Bakos, Gáspár Á. (9 May 2014). "Testing the Titius-Bode law predictions for Kepler multi-planet systems". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 442 (1): 674–681. arXiv:1405.2259. Bibcode:2014MNRAS.442..674H. doi:10.1093/mnras/stu906.
^ Kipping, David (2018). "Predicting the orbit of TRAPPIST-1i". Research Notes of the American Astronomical Society. 2 (3): 136. arXiv:1807.10835. Bibcode:2018RNAAS...2..136K. doi:10.3847/2515-5172/aad6e8. S2CID 119005201.
^ Lara, Patricia; Cordero-Tercero, Guadalupe; Allen, Christine (2020). "The reliability of the Titius-Bode relation and its implications for the search for exoplanets". Publications of the Astronomical Society of Japan. 72 (2). arXiv:2003.05121. doi:10.1093/pasj/psz146.
^ Ballesteros, F.J.; Fernandez-Soto, A.; Martinez, V.J. (2019). "Diving into exoplanets: Are water seas the most common?". Astrobiology. 19 (5): 642–654. Bibcode:2019AsBio..19..642B. doi:10.1089/ast.2017.1720. hdl:10261/213115. PMID 30789285. S2CID 73498809.