Томагавк — инструмент в геометрии для трисекции угла , задачи разбиения угла на три равные части. Границы его формы включают полукруг и два отрезка , расположенных таким образом, что они напоминают томагавк , топор коренных американцев. [1] [2] Этот же инструмент также называли ножом сапожника , [3] но это название чаще используется в геометрии для обозначения другой формы, арбелоса (криволинейный треугольник, ограниченный тремя взаимно касательными полуокружностями). [4]
Основная форма томагавка состоит из полукруга («лезвие» томагавка), с отрезком линии длиной радиуса, простирающимся вдоль той же линии, что и диаметр полукруга (кончик которого является «шипом» томагавка), и с другим отрезком линии произвольной длины («ручка» томагавка), перпендикулярным диаметру. Чтобы превратить его в физический инструмент, его ручка и шип могут быть утолщены, пока отрезок линии вдоль ручки продолжает оставаться частью границы формы. В отличие от родственной трисекции с использованием плотницкого угольника , другая сторона утолщенной ручки не должна быть сделана параллельной этому отрезку линии. [1]
В некоторых источниках используется полный круг вместо полукруга [5] или томагавк также утолщен вдоль диаметра своего полукруга [6] , но эти модификации не оказывают никакого влияния на действие томагавка как трисектора.
Чтобы использовать томагавк для трисекции угла , его располагают так, чтобы линия его рукоятки касалась вершины угла, а лезвие было внутри угла, касательно одного из двух лучей, образующих угол, а острие касалось другого луча угла. Одна из двух линий трисекции затем лежит на сегменте рукоятки, а другая проходит через центральную точку полукруга. [1] [6] Если угол, который нужно трисекции, слишком острый по сравнению с длиной рукоятки томагавка, может оказаться невозможным вписать томагавк в угол таким образом, но эту трудность можно обойти, многократно удваивая угол, пока он не станет достаточно большим для того, чтобы томагавк мог его трисектировать, а затем многократно делить пополам трисектированный угол столько же раз, сколько раз был удвоен исходный угол. [2]
Если вершина угла обозначена как A , точка касания лезвия как B , центр полукруга как C , вершина рукоятки как D , а острие как E , то треугольники △ ACD и △ ADE являются прямоугольными треугольниками с общим основанием и равной высотой, поэтому они являются конгруэнтными треугольниками . Поскольку стороны AB и BC треугольника △ ABC являются соответственно касательной и радиусом полукруга, они находятся под прямым углом друг к другу, и △ ABC также является прямоугольным треугольником; он имеет ту же гипотенузу , что и △ ACD, и те же длины сторон BC = CD , поэтому он снова конгруэнтен двум другим треугольникам, показывая, что три угла, образованные в вершине, равны. [5] [6]
Хотя томагавк сам по себе может быть построен с использованием циркуля и линейки [7] и может быть использован для трисекции угла, это не противоречит теореме Пьера Ванцеля 1837 года о том, что произвольные углы не могут быть трисекции только с помощью циркуля и неразмеченной линейки. [8] Причина этого в том, что размещение построенного томагавка в требуемом положении является формой невзиса , которая не допускается в конструкциях с использованием циркуля и линейки. [9]
Изобретатель томагавка неизвестен, [1] [10] но самые ранние упоминания о нем происходят из Франции 19-го века. Он датируется по крайней мере 1835 годом, когда он появился в книге Клода Люсьена Бержери , Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3-е издание). [1] Другая ранняя публикация той же трисекции была сделана Анри Брокаром в 1877 году; [11] Брокар, в свою очередь, приписывает ее изобретение мемуарам 1863 года французского морского офицера Пьера-Жозефа Глотена . [12] [13] [14]