Тор Клифтона–Поля

В геометрии тор Клифтона –Поля является примером компактного лоренцева многообразия , которое не является геодезически полным . Хотя каждое компактное риманово многообразие также является геодезически полным (по теореме Хопфа–Ринова ), это пространство показывает, что та же импликация не обобщается на псевдоримановы многообразия . ^[1] Он назван в честь Йитона Х. Клифтона и Уильяма Ф. Поля , которые описали его в 1962 году, но не опубликовали свой результат. ^[2]

Определение

Рассмотрим многообразие с метрикой ${\displaystyle \mathrm {M} =\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle g={\frac {2\,dx\,dy}{x^{2}+y^{2}}}}$

Любая гомотетия является изометрией , в частности , включая отображение: ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=(2x,2y)}$

Пусть будет подгруппой группы изометрий , порожденной . Тогда имеет собственное, разрывное действие на . Следовательно, фактор , который топологически является тором , является поверхностью Лоренца, которая называется тором Клифтона–Поля. ^[1] Иногда, в расширении, поверхность называется тором Клифтона–Поля, если она является конечным покрытием фактора любой гомотетией отношения, отличной от . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T=M/\Gamma ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Геодезическая неполнота

Можно убедиться, что кривая

${\displaystyle \sigma (t):=\left({\frac {1}{1-t}},0\right)}$

является нулевой геодезической M , которая не является полной (так как она не определена в ). ^[1] Следовательно, (следовательно, и ) является геодезически неполной, несмотря на то, что является компактной. Аналогично, кривая ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sigma (t):=(\tan(t),1)}$

также является нулевой геодезической, которая неполна. Фактически, каждая нулевая геодезическая на или является неполной. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Геодезическую неполноту тора Клифтона–Поля лучше рассматривать как прямое следствие того факта, что он расширяем, т.е. его можно рассматривать как подмножество большей лоренцевской поверхности. Это прямое следствие простого изменения координат. С ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle N=\left(-\pi /2,\pi /2\right)^{2}\smallsetminus \{0\};}$

учитывать

${\displaystyle F:N\to M}$

${\displaystyle F(u,v):=(\tan(u),\tan(v)).}$

Метрика (т.е. метрика, выраженная в координатах ) имеет вид ${\displaystyle F^{*}g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle {\widehat {g\,}}={\frac {du\,dv}{{\tfrac {1}{2}}(\cos(u)^{2}\sin(v)^{2}+\sin(u)^{2}\cos(v)^{2})}}.}$

Но эта метрика естественным образом распространяется от до , где ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\tfrac {\pi }{2}}(k,\ell )\ \mid \ (k,\ell )\in \mathbb {Z} ^{2},k+\ell \equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Поверхность , известная как расширенная плоскость Клифтона–Поля, является геодезически полной. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \Lambda ,{\widehat {g\,}})}$

Сопряженные точки

Торы Клифтона–Поля также примечательны тем, что они были первыми известными неплоскими лоренцевыми торами без сопряженных точек . ^[3] Расширенная плоскость Клифтона–Поля содержит множество пар сопряженных точек, некоторые из которых находятся на границе т.е. «на бесконечности» в . Напомним также, что по теореме Хопфа–Ринова таких торов не существует в римановой постановке. ^[4] ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)^{2}}$ ${\displaystyle M}$

Ссылки

1. О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, чистая и прикладная математика, т. 103, Academic Press , стр. 193, ISBN 9780080570570.
2. Вольф, Джозеф А. (2011), Пространства постоянной кривизны (6-е изд.), AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, стр. 95, ISBN 978-0-8218-5282-8, г-н  2742530.
3. Бавард, Ч.; Мунод, П. (2013), «Поверхности лоренциенны без сопряженных точек», Геометрия и топология , 17 : 469–492, doi : 10.2140/gt.2013.17.469
4. Хопф, Э. (1948), «Замкнутые поверхности без сопряженных точек», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 34 (2): 47–51, Bibcode : 1948PNAS...34...47H, doi : 10.1073/pnas.34.2.47 , PMC 1062913 , PMID  16588785