Узел тора

Узел, лежащий на поверхности тора в трехмерном пространстве

(3,−7)- 3D торический узел.

Премия EureleA, демонстрирующая (2,3)-торический узел.

(2,8) торическая связь

В теории узлов торический узел — это особый вид узла , который лежит на поверхности незаузленного тора в R ³ . Аналогично, торическое зацепление — это зацепление , которое лежит на поверхности тора таким же образом. Каждый торический узел задается парой взаимно простых целых чисел p и q . Торическое зацепление возникает, если p и q не являются взаимно простыми (в этом случае число компонент равно gcd ( p, q )). Торический узел тривиален (эквивалентен незаузленному узлу) тогда и только тогда, когда либо p, либо q равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, также известный как узел трилистник .

(2,−3)-торический узел, также известный как левосторонний трилистниковый узел

Геометрическое представление

Торический узел может быть представлен геометрически несколькими способами, которые топологически эквивалентны (см. Свойства ниже), но геометрически различны. Соглашение, используемое в этой статье и ее рисунках, следующее.

Узел ( p , q )-тора обматывается q раз вокруг окружности внутри тора и p раз вокруг его оси вращательной симметрии . ^{[примечание 1]} . Если p и q не являются взаимно простыми, то мы имеем зацепление тора с более чем одной компонентой.

Направление, в котором нити узла обвивают тор, также зависит от различных соглашений. Наиболее распространенным является то, что нити образуют правый винт для pq > 0. [ ^{3] [4] [5]}

Узел ( p , q )-тора может быть задан параметризацией

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

где и . Это лежит на поверхности тора, заданного (в цилиндрических координатах ). ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$ ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$ ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определяются с точностью до непрерывной деформации. Иллюстрации для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, взяв , а в случае (2,3)-торического узла — вычитая соответственно и из приведенных выше параметризаций x и y . Последняя гладко обобщается на любые взаимно простые p,q, удовлетворяющие . ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$ ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle p<q<2p}$

Характеристики

Диаграмма (3,−8)-торического узла.

Торический узел тривиален тогда и только тогда, когда p или q равны 1 или −1. ^{[4] [5]}

Каждый нетривиальный торический узел является первичным ^[6] и хиральным . ^[4]

Торический узел ( p , q ) эквивалентен торическому узлу ( q , p ). ^{[3] [5]} Это можно доказать, перемещая нити на поверхности тора. ^[7] Торический узел ( p ,− q ) является аверсом (зеркальным отражением) торического узла ( p , q ). ^[5] Торический узел (− p ,− q ) эквивалентен торическому узлу ( p , q ) за исключением обратной ориентации.

Торический узел (3, 4) на развернутой поверхности тора и его коса

Любой ( p , q )-торический узел может быть сделан из замкнутой косы с p нитями. Соответствующее слово косы - ^[8]

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

(Эта формула предполагает общепринятое соглашение о том, что образующие косы являются правыми скручиваниями, ^{[4] [8] [9] [10]} , которое не соблюдается на странице Википедии о косах.)

Число пересечений торического узла ( p , q ) при p , q > 0 определяется выражением

с = мин(( p −1) q , ( q −1) p ).

Род торического узла с p , q > 0 равен

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Многочлен Александера торического узла равен ^{[3] [8]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$где ${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

Полином Джонса (правого) торического узла определяется выражением

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

Дополнение к торическому узлу в 3-сфере представляет собой многообразие, расслоенное по Зейферту , расслоенное над диском двумя особыми слоями.

Пусть Y будет p -кратным колпаком дурака с удаленным изнутри диском, Z будет q -кратным колпаком дурака с удаленным изнутри диском, а X будет факторпространством, полученным путем отождествления Y и Z вдоль их граничной окружности. Дополнение узла к деформации ( p , q ) -торического узла втягивается в пространство X . Следовательно, группа узлов торического узла имеет представление

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Торические узлы являются единственными узлами, группы узлов которых имеют нетривиальный центр (который является бесконечным циклическим, порожденным элементом, представленным выше). ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

Фактор растяжения торического узла ( p , q ), как кривой в евклидовом пространстве , равен Ω(min( p , q )), поэтому торические узлы имеют неограниченные факторы растяжения. Исследователь-бакалавр Джон Пардон выиграл премию Моргана 2012 года за свое исследование, доказывающее этот результат, который решил проблему, первоначально поставленную Михаилом Громовым . ^{[11] [12]}

Связь со сложными гиперповерхностями

Узлы ( p , q )−torus возникают при рассмотрении связи изолированной комплексной гиперповерхностной особенности. Комплексная гиперповерхность пересекается с гиперсферой , центрированной в изолированной особой точке, и с достаточно малым радиусом, так что она не охватывает и не сталкивается ни с какими другими особыми точками. Пересечение дает подмногообразие гиперсферы.

Пусть p и q — взаимно простые целые числа, большие или равные двум. Рассмотрим голоморфную функцию, заданную Пусть будет множеством таких, что Для данного действительного числа мы определяем действительную трехмерную сферу как заданную Функция имеет изолированную критическую точку в , так как тогда и только тогда, когда Таким образом, мы рассматриваем структуру , близкую к Для того чтобы сделать это, мы рассматриваем пересечение Это пересечение является так называемым звеном сингулярности Звено , где p и q взаимно просты и оба больше или равны двум, является в точности узлом ( p , q )− тора. ^[13] ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(w,z)=0.}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$ ${\displaystyle w=z=0.}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$

Список

(36,3) торическая связь

На рисунке справа изображено торическое зацепление (72,4).

• Развязать , 3 ₁ узел (3,2), 5 ₁ узел (5,2), 7 ₁ узел (7,2), 8 ₁₉ узел (4,3), 9 ₁ узел (9,2), 10 ₁₂₄ узла (5,3)

г-торический узел

Узел g-тора — это замкнутая кривая, нарисованная на g-торе . Более технически, это гомеоморфный образ окружности в S³ , который может быть реализован как подмножество рода g handlebody в S³ (чье дополнение также является родом g handlebody). Если зацепление является подмножеством рода два handlebody, то это двойное торическое зацепление . ^[14]

Для рода два простейшим примером двойного торического узла, который не является торическим узлом, является узел восьмерка . ^{[15] [16]}

Примечания

1. Обратите внимание, что это использование ролей p и q противоречит тому, что показано на ^[1] . Это также не соответствует изображениям, которые показаны на: ^[2].

Смотрите также

• Переменный узел
• Спутниковый узел
• Гиперболический узел
• Иррациональная обмотка тора
• Топополис

Ссылки

1. Узел тора на Wolfram Mathworld [1].
2. «36 узлов тора», Атлас узлов. [2].
3. Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узлов . Математическая ассоциация Америки. стр.  ^{[ нужна страница ]} . ISBN 0-88385-027-3.
4. Мурасуги, Кунио (1996). Теория узлов и ее применение . Биркхойзер. стр.  ^{[ нужна страница ]} . ISBN 3-7643-3817-2.
5. Каваучи, Акио (1996). Обзор теории узлов . Биркхойзер. стр.  ^{[ нужна страница ]} . ISBN 3-7643-5124-1.
6. Норвуд, Ф. Х. (1982-01-01). «Каждый узел с двумя генераторами является простым». Труды Американского математического общества . 86 (1): 143–147. doi : 10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN  0002-9939. JSTOR  2044414.
7. Бейкер, Кеннет (28.03.2011). "pq is q p". Очерки топологии . Получено 09.11.2020 .
8. Lickorish, WBR (1997). Введение в теорию узлов . Springer. стр.  ^{[ нужна страница ]} . ISBN 0-387-98254-X.
9. Dehornoy, P.; Dynnikov, Ivan; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2000). Why are Braids Orderable? (PDF) . p.  ^{[ page needed ]} . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-04-15 . Получено 2011-11-12 .
10. Бирман, Дж. С.; Брендл, Т. Э. (2005). «Косы: обзор». В Menasco, В.; Тистлтуэйт, М. (ред.). Справочник по теории узлов . Elsevier. стр.  ^{[ нужная страница ]} . ISBN 0-444-51452-X.
11. Кехо, Элейн (апрель 2012 г.), «Премия Моргана 2012 г.», Notices of the American Mathematical Society , т. 59, № 4, стр. 569–571, ​​doi : 10.1090/noti825.
12. Пардон, Джон (2011), «Об искажении узлов на вложенных поверхностях», Annals of Mathematics , вторая серия, 174 (1): 637–646, arXiv : 1010.1972 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.21, MR  2811613, S2CID  55567836
13. Милнор, Дж. (1968). Особые точки сложных гиперповерхностей . Princeton University Press. стр.  ^{[ нужная страница ]} . ISBN 0-691-08065-8.
14. Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и связи . Publish or Perish, Inc. стр.  ^{[ нужна страница ]} . ISBN 0-914098-16-0.
15. Хилл, Питер (декабрь 1999 г.). «О двойных торических узлах (I)». Журнал теории узлов и ее разветвления . 08 (8): 1009–1048. doi :10.1142/S0218216599000651. ISSN  0218-2165.
16. Норвуд, Фредерик (ноябрь 1989 г.). «Кривые на поверхностях». Топология и ее приложения . 33 (3): 241–246. doi : 10.1016/0166-8641(89)90105-3 .

Внешние ссылки

• «36 узлов тора», Атлас узлов .
• Вайсштейн, Эрик В. «Торусовый узел». Математический мир .
• Рендерер торического узла в ActionScript
• Развлечения с узлом PQ-Torus