Тороидальные координаты

Иллюстрация тороидальных координат, которые получаются вращением двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Фокусы расположены на расстоянии 1 от вертикальной оси z . Часть красной сферы, которая лежит над плоскостью $xy$, является изоповерхностью σ = 30°, синий тор является изоповерхностью τ = 0,5, а желтая полуплоскость является изоповерхностью φ = 60°. Зеленая полуплоскость отмечает плоскость x - z , от которой измеряется φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей в декартовых координатах примерно (0,996, −1,725, 1,911).

Тороидальные координаты — это трехмерная ортогональная система координат , которая получается в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два ее фокуса. Таким образом, два фокуса и в биполярных координатах становятся кольцом радиуса в плоскости тороидальной системы координат; ось — ось вращения. Фокальное кольцо также известно как опорная окружность. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle z}$

Определение

Наиболее распространенное определение тороидальных координат : ${\displaystyle (\tau ,\sigma ,\phi )}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

вместе с ). Координата точки равна углу , а координата равна натуральному логарифму отношения расстояний и до противоположных сторон фокального кольца ${\displaystyle \mathrm {sign} (\sigma )=\mathrm {sign} (z}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Диапазоны координат: , и ${\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi }$ ${\displaystyle \tau \geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi .}$

Координатные поверхности

Вращение этой двумерной биполярной системы координат вокруг вертикальной оси создает трехмерную тороидальную систему координат выше. Круг на вертикальной оси становится красной сферой , тогда как круг на горизонтальной оси становится синим тором .

Поверхности константы соответствуют сферам разных радиусов ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

что все проходят через фокусное кольцо, но не концентричны. Поверхности константы являются непересекающимися торами разных радиусов ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

которые окружают фокусное кольцо. Центры постоянных сфер лежат вдоль оси, тогда как постоянные торы центрированы в плоскости. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle xy}$

Обратное преобразование

Координаты могут быть вычислены из декартовых координат ( x , y , z ) следующим образом. Азимутальный угол определяется по формуле ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

Цилиндрический радиус точки P определяется по формуле ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=\left(a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\right)^{2}}$

и его расстояния до фокусов в плоскости, определяемой как ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

Геометрическая интерпретация координат σ и τ точки P. Наблюдаемые в плоскости постоянного азимутального угла тороидальные координаты эквивалентны биполярным координатам . Угол образован двумя фокусами в этой плоскости и P , тогда как — логарифм отношения расстояний до фокусов. Соответствующие окружности постоянного и показаны красным и синим цветом соответственно и пересекаются под прямым углом (пурпурный прямоугольник); они ортогональны. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

Координата равна натуральному логарифму фокусных расстояний. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

тогда как равен углу между лучами в фокусах, который можно определить из закона косинусов ${\displaystyle |\sigma |}$

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}.}$

Или явно, включая знак,

${\displaystyle \sigma =\mathrm {sign} (z)\arccos {\frac {r^{2}-a^{2}}{\sqrt {(r^{2}-a^{2})^{2}+4a^{2}z^{2}}}}}$

где . ${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$

Преобразования между цилиндрическими и тороидальными координатами можно выразить в комплексной записи как

${\displaystyle z+i\rho \ =ia\coth {\frac {\tau +i\sigma }{2}},}$

${\displaystyle \tau +i\sigma \ =\ln {\frac {z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}}.}$

Масштабные факторы

Масштабные коэффициенты для тороидальных координат и равны ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

тогда как азимутальный масштабный коэффициент равен

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

Дифференциальные операторы

Лапласиан определяется как $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}&\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\\[8pt]&{}\quad +\left.{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$$

Для векторного поля векторный лапласиан определяется выражением $${\displaystyle {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\sigma }+n_{\phi }(\tau ,\sigma ,\phi ){\hat {e}}_{\phi },}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\vec {n}}(\tau ,\sigma ,\phi )&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {n}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {n}})\\&={\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\tau }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {\sinh ^{4}\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad +{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\&\qquad +{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left({\frac {-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \sigma }^{2}}}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2})+\cdots \\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\tau }}{{\partial \phi }^{2}}}{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\sigma }\left\{n_{\tau }\left(-{\frac {(\cosh ^{2}\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+n_{\sigma }\left(-\sinh ^{2}\tau -2\sin ^{2}\sigma \right)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \tau }}(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }}\left(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \phi }}\left(2{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\sigma }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\\&+{\frac {1}{a^{2}}}{\vec {e}}_{\phi }\left\{n_{\phi }\left(-{\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\tau }}{\partial \phi }}\left({\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh ^{2}\tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\sigma }}{\partial \phi }}\left(-{\frac {2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }}\right)+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \tau }}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }}\right)+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial n_{\phi }}{\partial \sigma }}(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \tau }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+\cdots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \sigma }^{2}}}(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}+{\frac {\partial ^{2}n_{\phi }}{{\partial \phi }^{2}}}\left({\frac {(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\right)\right\}\end{aligned}}}$$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

Тороидальные гармоники

Стандартное разделение

Уравнение Лапласа с тремя переменными

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

допускает решение путем разделения переменных в тороидальных координатах. Делая замену

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Тогда получается разделяемое уравнение. Частное решение, полученное путем разделения переменных, имеет вид:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

где каждая функция представляет собой линейную комбинацию:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

Где P и Q — ассоциированные функции Лежандра первого и второго рода. Эти функции Лежандра часто называют тороидальными гармониками.

Тороидальные гармоники имеют много интересных свойств. Если вы делаете замену переменной , то, например, с исчезающим порядком (условие заключается в том, чтобы не писать порядок, когда он исчезает) и ${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

и

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

где и — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно . Остальные тороидальные гармоники можно получить, например, в терминах полных эллиптических интегралов, используя рекуррентные соотношения для ассоциированных функций Лежандра. ${\displaystyle \,\!K}$ ${\displaystyle \,\!E}$

Классические применения тороидальных координат заключаются в решении частных дифференциальных уравнений , например, уравнения Лапласа , для которого тороидальные координаты допускают разделение переменных , или уравнения Гельмгольца , для которого тороидальные координаты не допускают разделение переменных. Типичными примерами являются электрический потенциал и электрическое поле проводящего тора или, в вырожденном случае, электрическое токовое кольцо (Hulme 1982).

Альтернативное разделение

В качестве альтернативы можно сделать другую замену (Эндрюс 2006)

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

где

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

Опять же, получается разделяемое уравнение. Частное решение, полученное путем разделения переменных , тогда:

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

где каждая функция представляет собой линейную комбинацию:

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }.}$

Обратите внимание, что хотя тороидальные гармоники снова используются для функции T   , аргумент — это , а не , а индексы и меняются местами. Этот метод полезен для ситуаций, в которых граничные условия не зависят от сферического угла , например, заряженное кольцо, бесконечная полуплоскость или две параллельные плоскости. Для тождеств, связывающих тороидальные гармоники с аргументом гиперболический косинус с гармониками с аргументом гиперболический котангенс, см. формулы Уиппла . ${\displaystyle \coth \tau }$ ${\displaystyle \cosh \tau }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \theta }$

Ссылки

• Байерли, У. Э. (1893) Элементарный трактат о рядах Фурье и сферических, цилиндрических и эллипсоидальных гармониках с приложениями к задачам математической физики Джинн и его коллеги, стр. 264–266
• Арфкен Г. (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С. 112–115.
• Эндрюс, Марк (2006). «Альтернативное разделение уравнения Лапласа в тороидальных координатах и ​​его применение в электростатике». Журнал электростатики . 64 (10): 664–672. CiteSeerX  10.1.1.205.5658 . doi :10.1016/j.elstat.2005.11.005.
• Хьюм, А. (1982). «Заметка о магнитном скалярном потенциале электрического токового кольца». Математические труды Кембриджского философского общества . 92 (1): 183–191. doi :10.1017/S0305004100059831.

Библиография

• Морзе П.М., Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: McGraw–Hill. стр. 666.
• Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 182. LCCN  59014456.
• Маргенау Х, Мерфи ГМ (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С. 190–192. LCCN  55010911.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Тороидальные координаты ( η , θ , ψ )". Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (2-е изд., 3-е пересмотренное печатное изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 112–115 (Раздел IV, E4Ry). ISBN 978-0-387-02732-6.

Внешние ссылки

• Описание тороидальных координат в MathWorld