В геометрии двумерная точечная группа или группа розеток — это группа геометрических симметрий ( изометрий ), которые сохраняют неподвижной хотя бы одну точку на плоскости. Каждая такая группа является подгруппой ортогональной группы O(2), включая саму O(2). Ее элементами являются вращения и отражения, и каждая такая группа, содержащая только вращения, является подгруппой специальной ортогональной группы SO(2), включая саму SO(2). Эта группа изоморфна R/Z и первой унитарной группе , U(1), группе, также известной как группа окружности .
Двумерные точечные группы важны как основа для аксиальных трехмерных точечных групп , с добавлением отражений в аксиальной координате. Они также важны в симметриях организмов, таких как морские звезды и медузы , и частей организмов, таких как цветы .
Существует два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они задаются параметром n , который представляет собой порядок группы вращений в группе.
Intl относится к нотации Германа–Могена или международной нотации, часто используемой в кристаллографии . В бесконечном пределе эти группы становятся одномерными линейными группами .
Если группа является симметрией двумерной решетки или сетки, то теорема о кристаллографическом ограничении ограничивает значение n до 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семейств. Таким образом, существует 10 двумерных кристаллографических точечных групп :
Группы могут быть построены следующим образом:
Все эти группы имеют различные абстрактные группы, за исключением C 2 и D 1 , которые разделяют абстрактную группу Z 2 . Все циклические группы являются абелевыми или коммутативными, но только две из диэдральных групп являются: D 1 ~ Z 2 и D 2 ~ Z 2 ×Z 2 . Фактически, D 3 является наименьшей неабелевой группой.
Для четных n символ Германа–Могена n m является сокращением для полного символа n mm, как объясняется ниже. N в символе HM обозначает n -кратные вращения, тогда как m обозначает плоскости отражения или зеркала.
Эти группы легко строятся с помощью двумерных ортогональных матриц .
Непрерывная циклическая группа SO(2) или C∞ и ее подгруппы имеют элементы, являющиеся матрицами вращения:
где SO(2) имеет любой возможный θ. Неудивительно, что SO(2) и ее подгруппы все абелевы; сложение углов поворота коммутирует.
Для дискретных циклических групп C n элементы C n k = R(2π k / n )
Непрерывная диэдральная группа O(2) или D∞ и ее подгруппы с отражениями имеют элементы, которые включают в себя не только матрицы вращения, но и матрицы отражения:
где O(2) имеет любой возможный θ. Однако единственными абелевыми подгруппами O(2) с отражениями являются D 1 и D 2 .
Для дискретных диэдральных групп D n элементы C n k σ = S(2π k / n )
При использовании полярных координат связь этих групп с одномерными группами симметрии становится очевидной.
Типы подгрупп SO(2):
Для каждой подгруппы SO(2) существует соответствующий несчетный класс подгрупп O(2), которые взаимно изоморфны как абстрактная группа: каждая из подгрупп в одном классе порождается первой упомянутой подгруппой и одним отражением относительно прямой, проходящей через начало координат. Это (обобщенные) диэдральные группы , включая конечные D n ( n ≥ 1) абстрактного группового типа Dih n . Для n = 1 общепринятым обозначением является C s абстрактного группового типа Z 2 .
Как топологические подгруппы O(2), замкнуты только конечные группы изометрий, а также SO(2) и O(2).
Эти группы делятся на два различных семейства в зависимости от того, состоят ли они только из вращений или включают отражения . Циклические группы , C n (абстрактный тип группы Z n ), состоят из вращений на 360°/ n , и всех целых кратных. Например, табурет на четырех ножках имеет группу симметрии C 4 , состоящую из вращений на 0°, 90°, 180° и 270°. Группа симметрии квадрата принадлежит к семейству диэдральных групп , D n (абстрактный тип группы Dih n ), включающему столько же отражений, сколько и вращений. Бесконечная вращательная симметрия круга подразумевает также и симметрию отражения, но формально группа круга S 1 отличается от Dih(S 1 ), поскольку последняя явно включает отражения.
Бесконечная группа не обязательно должна быть непрерывной; например, у нас есть группа всех целых кратных поворота на 360°/ √ 2 , которая не включает поворот на 180°. В зависимости от ее применения однородность до произвольно мелкого уровня детализации в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении, и в этом случае эти группы симметрии можно игнорировать.
C n и D n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 могут быть объединены с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают начало 17 группам обоев .
Группы двумерной симметрии соответствуют группам изометрии, за исключением того, что симметрию по O(2) и SO(2) можно различить только в обобщенной концепции симметрии, применимой для векторных полей .
Также, в зависимости от приложения, однородность вплоть до сколь угодно мелких деталей в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении. Это значительно упрощает категоризацию: мы можем ограничиться замкнутыми топологическими подгруппами O(2): конечными и O(2) ( круговая симметрия ), а также для векторных полей SO(2).
Эти группы также соответствуют одномерным группам симметрии , если обернуть их по окружности.
E (2) является полупрямым произведением O ( 2) и группы трансляций T. Другими словами, O (2) является подгруппой E (2) , изоморфной фактор- группе E ( 2) по T :
Существует «естественный» сюръективный групповой гомоморфизм p : E (2) → E (2) / T , переводящий каждый элемент g из E (2) в смежный класс T , которому принадлежит g , то есть: p ( g ) = gT , иногда называемый канонической проекцией E (2) на E (2) / T или O ( 2). Его ядром является T .
Для каждой подгруппы E (2) мы можем рассмотреть ее образ при p : точечную группу, состоящую из смежных классов, к которым принадлежат элементы подгруппы, другими словами, точечную группу, полученную путем игнорирования трансляционных частей изометрий. Для каждой дискретной подгруппы E (2), в силу теоремы о кристаллографическом ограничении , эта точечная группа является либо C n , либо имеет тип D n для n = 1, 2, 3, 4 или 6.
C n и D n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 могут быть объединены с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают начало 17 группам обоев , а четыре группы с n = 1 и 2 также дают начало 7 группам фриза .
Для каждой из групп обоев p1, p2, p3, p4, p6 изображение под p всех групп изометрий (т.е. «проекций» на E (2) /T или O (2)) все равны соответствующим Cn ; также две группы фриза соответствуют C1 и C2 .
Каждая из групп изометрий p6m отображается на одну из точечных групп типа D 6 . Для остальных 11 групп обоев каждая группа изометрий отображается на одну из точечных групп типов D 1 , D 2 , D 3 или D 4 . Также пять групп фриза соответствуют D 1 и D 2 .
Для данной гексагональной трансляционной решетки существуют две различные группы D 3 , дающие начало P31m и p3m1. Для каждого из типов D 1 , D 2 и D 4 различие между группами обоев 3, 4 и 2 соответственно определяется вектором трансляции, связанным с каждым отражением в группе: поскольку изометрии находятся в одном и том же смежном классе независимо от трансляционных компонентов, отражение и скользящее отражение с одним и тем же зеркалом находятся в одном и том же смежном классе. Таким образом, группы изометрий, например, типа p4m и p4g отображаются в точечные группы типа D 4 .
Для заданной группы изометрий сопряжения переноса в группе элементами группы порождают группу переноса (решетку ) — то есть подгруппу группы изометрий, которая зависит только от переноса, с которого мы начали, и точечной группы, связанной с группой изометрий. Это происходит потому, что сопряжение переноса скользящим отражением такое же, как и соответствующим отражением: вектор переноса отражается.
Если группа изометрий содержит n -кратное вращение, то решетка имеет n -кратную симметрию для четных n и 2 n -кратную для нечетных n . Если в случае дискретной группы изометрий, содержащей трансляцию, мы применим это для трансляции минимальной длины, то, учитывая векторную разность трансляций в двух соседних направлениях, следует, что n ≤ 6, а для нечетных n — что 2 n ≤ 6, следовательно, n = 1, 2, 3, 4 или 6 ( теорема о кристаллографических ограничениях ).
