Точка отсечения

Точка связного топологического пространства, без которой оно становится несвязным

«Шея» этой восьмеркообразной фигуры представляет собой точку среза.

В топологии точка разреза — это точка связного пространства , удаление которой приводит к разрыву результирующего пространства. Если удаление точки не приводит к разрыву пространства, то эта точка называется неразрывной точкой .

Например, каждая точка прямой является точкой пересечения, тогда как ни одна точка окружности не является точкой пересечения.

Точки разреза полезны для определения, являются ли два связанных пространства гомеоморфными , путем подсчета количества точек разреза в каждом пространстве. Если два пространства имеют разное количество точек разреза, они не являются гомеоморфными. Классический пример — использование точек разреза для демонстрации того, что линии и окружности не являются гомеоморфными.

Точки сочленения также полезны при характеристике топологических континуумов — класса пространств, которые сочетают свойства компактности и связности и включают в себя многие знакомые пространства, такие как единичный интервал , окружность и тор .

Определение

Формальные определения

Линия (замкнутый интервал) имеет бесконечно много точек разреза между двумя конечными точками. Окружность не имеет точек разреза. Поскольку у них разное количество точек разреза, линии не гомеоморфны окружностям

Точка разреза связного топологического пространства T 1 X — это точка p в X, такая, что X - { p } не связно. Точка, не являющаяся точкой разреза, называется не-точкой разреза .

Непустое связное топологическое пространство X является пространством точек сочленения , если каждая точка в X является точкой сочленения X.

Простые примеры

• Замкнутый интервал [ a,b] имеет бесконечно много точек разреза. Все точки, за исключением его конечных точек, являются точками разреза, а конечные точки {a,b} являются не-точками разреза.
• Открытый интервал ( a,b) также имеет бесконечно много точек разреза, как и закрытые интервалы. Поскольку открытые интервалы не имеют конечных точек, у них нет не-точек разреза.
• Окружность не имеет точек разреза, и отсюда следует, что каждая точка окружности является точкой, не являющейся точкой разреза.

Обозначения

• Разрез X — это множество {p,U,V}, где p — точка разреза X, U и V образуют разделение X-{p}.
• Также можно записать как X\{p}=U|V.

Теоремы

Точки соприкосновения и гомеоморфизмы

• Точки разделения не обязательно сохраняются при непрерывных функциях . Например: f : [0, 2 π ] → R ² , заданная как f ( x ) = (cos x , sin x ). Каждая точка интервала (за исключением двух конечных точек) является точкой разделения, но f(x) образует окружность, которая не имеет точек разделения.
• Точки разреза сохраняются при гомеоморфизмах. Поэтому точка разреза является топологическим инвариантом .

Точки отсечения и континуумы

• Каждый континуум (компактное связное хаусдорфово пространство ) с более чем одной точкой имеет по крайней мере две неразрезанные точки. В частности, каждое открытое множество, которое образует разделение результирующего пространства, содержит по крайней мере одну неразрезанную точку.
• Каждый континуум, имеющий ровно две неразделяющие точки, гомеоморфен единичному интервалу.
• Если K — континуум с точками a, b и K-{a, b} не связен, то K гомеоморфен единичной окружности.

Топологические свойства пространств точек сочленения

• Пусть X — связное пространство, а x — точка разреза в X, такая что X\{x}=A|B. Тогда {x} либо открыто , либо замкнуто . Если {x} открыто, то A и B замкнуты. Если {x} замкнуто, то A и B открыты.
• Пусть X — пространство точек разреза. Множество замкнутых точек X бесконечно.

Неприводимые пространства точек разреза

Определения

Пространство точек сочленения является неприводимым , если ни одно его собственное подмножество не является пространством точек сочленения.

Линия Халимского : Пусть — множество целых чисел, а где — базис топологии на . Линия Халимского — это множество, наделенное этой топологией. Это пространство точек разреза. Более того, оно неприводимо. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B=\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теорема

• Топологическое пространство является неприводимым пространством точек раздела тогда и только тогда, когда X гомеоморфно прямой Халимского. ${\displaystyle X}$

Смотрите также

Точка отсечения (теория графов)

Ссылки

• Хэтчер, Аллен, Заметки о вводной топологии точек-множеств , стр. 20–21
• Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999), "Пространства точек разделения" (PDF) , Труды Американского математического общества , 127 (9): 2797–2803, doi : 10.1090/s0002-9939-99-04839-x
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.(Первоначально опубликовано издательством Addison-Wesley Publishing Company, Inc. в 1970 году.)