Точки Эйри

Точки Эйри (по имени Джорджа Бидделла Эйри ^[1] ) используются для точных измерений ( метрологии ) для поддержки эталона длины таким образом, чтобы свести к минимуму изгиб или падение горизонтально поддерживаемой балки .

Выбор точек опоры

Равномерная балка прогибается в зависимости от того, где она поддерживается. (Вертикальный прогиб сильно преувеличен.)

Кинематическая поддержка одномерной балки требует ровно двух точек опоры. Три или более точек опоры не будут распределять нагрузку равномерно (если только они не закреплены шарнирно в нежестком дереве виффла или подобном). Положение этих точек может быть выбрано для минимизации различных форм гравитационного прогиба.

Балка, поддерживаемая по концам, провиснет посередине, в результате чего концы сблизятся и наклонятся вверх. Балка, поддерживаемая только посередине, провиснет по концам, образуя похожую форму, но перевернутую.

Точки Эйри

Балка , опирающаяся на точки Эйри, имеет параллельные концы.

Вертикальное и угловое отклонение балки, опирающейся на точки Эйри.

Поддержка однородной балки в точках Эйри обеспечивает нулевое угловое отклонение концов. ^{[2] [3]} Точки Эйри расположены симметрично вокруг центра эталона длины и разделены расстоянием, равным

${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}=0.57735...}$

от длины стержня.

«Концевые эталоны», то есть эталоны, длина которых определяется как расстояние между их плоскими концами, такими как длинные калибровочные блоки или mètre des Archives , должны поддерживаться в точках Эйри, чтобы их длина была четко определена; если концы не параллельны, неопределенность измерения увеличивается, поскольку длина зависит от того, какая часть конца измеряется. ^{[4] : 218} По этой причине точки Эйри обычно идентифицируются выгравированными отметками или линиями. Например, калибр длиной 1000 мм будет иметь разделение точек Эйри 577,4 мм. Линия или пара линий будут нанесены на калибр на расстоянии 211,3 мм от каждого конца. Поддержка артефакта в этих точках гарантирует сохранение калиброванной длины.

В работе Эйри 1845 года ^[1] выводится уравнение для n равноотстоящих опорных точек. В этом случае расстояние между каждой опорой равно дроби

${\displaystyle c=1/{\sqrt {n^{2}-1}}}$

длина стержня. Он также выводит формулу для стержня, который выступает за пределы контрольных отметок.

Точки Бесселя

Балка, опирающаяся на точки Бесселя, имеет максимальную длину.

Один конец прототипа метровой планки, пример линейного стандарта. Тонкая линия, нанесенная на полированную часть центрального ребра, отмечает один конец.

«Линейные стандарты» измеряются между линиями, нанесенными на их поверхности. Они гораздо менее удобны в использовании, чем концевые стандарты ^{[5] [6],} но, когда отметки размещены на нейтральной плоскости балки, обеспечивают большую точность.

Для поддержки стандарта линии желательно минимизировать линейное , а не угловое движение концов. Точки Бесселя (по Фридриху Вильгельму Бесселю ) — это точки, в которых длина балки максимальна. Поскольку это максимум , эффект небольшой ошибки позиционирования пропорционален квадрату ошибки, даже меньшей величине.

Точки Бесселя расположены на расстоянии 0,5594 длины стержня друг от друга, немного ближе, чем точки Эйри. ^{[2] [3] [7]}

Поскольку линейные стандарты неизменно выходят за пределы линий, нанесенных на них, оптимальные точки опоры зависят как от общей длины, так и от длины, которую необходимо измерить. Последняя является величиной, которую необходимо максимизировать, что требует более сложного расчета. Например, определение метра 1927–1960 годов указывало , что стержень Международного прототипа метра должен измеряться, «опираясь на два цилиндра диаметром не менее одного сантиметра, симметрично расположенных в одной горизонтальной плоскости на расстоянии 571 мм друг от друга». ^[8] Это были бы точки Бесселя балки длиной 1020 мм.

Другие точки поддержки, представляющие интерес

Другие наборы опорных точек, даже более близкие, чем точки Бесселя, которые могут потребоваться в некоторых приложениях: ^{[3] [9]}

• Точки минимального провисания, 0,5536 длины. Минимальное провисание происходит, когда центр стержня провисает на ту же величину, что и конечные точки, что не совсем то же самое, что минимальное горизонтальное движение концов.
• Узлы свободных колебаний, 0,5516 длины.
• Точки нулевого центрального прогиба (если они ближе, балка поднимется между опорными точками): 0,5228 длины.

Смотрите также

• История измерений
• История метра
• Нейтральная плоскость
• Метод испытания
• Единицы измерения
• Меры и веса

Ссылки

1. Airy, GB (10 января 1845 г.). «Об изгибе однородного стержня, поддерживаемого рядом равных давлений в равноудаленных точках, и о положениях, подходящих для приложений этих давлений, чтобы предотвратить любое разумное изменение длины стержня из-за малого изгиба». MNRAS (pdf). 6 (12): 143–146. Bibcode :1845MNRAS...6..143A. doi : 10.1093/mnras/6.12.143 .
2. Краткое руководство по прецизионным измерительным приборам (PDF) (Технический отчет). Mitutoyo . Октябрь 2012 г. стр. 19. № E11003 (2).
3. Verdirame, Justin (10 февраля 2016 г.). "Точки Эйри, точки Бесселя, минимальный прогиб силы тяжести и узловые точки вибрации однородных балок" . Получено 29 августа 2016 г.
4. Сойер, Дэниел; Пэрри, Брайан; Филлипс, Стивен; Блэкберн, Крис; Мураликришнан, Бала (2012). «Модель для ошибок, зависящих от геометрии, в артефактах длины» (PDF) . Журнал исследований Национального института стандартов и технологий . 117 : 216–230. doi : 10.6028/jres.117.013 . PMC 4553879. PMID  26900525 . 
5. Фишер, Луис А. (ноябрь 1904 г.). «Повторное сравнение прототипа метра Соединенных Штатов» (PDF) . Бюллетень Бюро стандартов . 1 (1): 5–19. doi : 10.6028/bulletin.002 .
6. Джадсон, Льюис В. (20 мая 1960 г.). Калибровка линейных эталонов длины и измерительных лент в Национальном бюро стандартов (PDF) (Технический отчет). Национальное бюро стандартов . Монография 15 НБС.
7. Фелпс, FM III (1966). «Воздушные точки измерительной линейки». Американский журнал физики . 34 (5): 419–422. Bibcode : 1966AmJPh..34..419P. doi : 10.1119/1.1973011.
8. Международное бюро мер и весов (2006), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), стр. 143, ISBN 92-822-2213-6, заархивировано (PDF) из оригинала 2021-06-04 , извлечено 2021-12-16
9. Nijsse, Gert-Jan (12 июня 2001 г.). Системы линейного движения. Модульный подход к улучшению показателей прямолинейности (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). стр. 39. ISBN 90-407-2187-4.

• Смит, СТ; Четвинд, ДГ (1994). Разработки в области нанотехнологий . Том 2. Тейлор и Фрэнсис. стр. 323. ISBN 978-2-88449-001-6. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
• Фелпс, Фредерик М. III (май 1966 г.). «Воздушные точки метрового стержня». Американский журнал физики . 34 (5): 419–422. Bibcode : 1966AmJPh..34..419P. doi : 10.1119/1.1973011.
• Льюис, Эндрю Джон (2002) [1993]. "Приложение C: Изгибание стержней длины" (PDF) . Абсолютное измерение длины с использованием многоволновой фазовой интерферометрии (диссертация) (2-е изд.). Кафедра физики, Имперский колледж науки, технологии и медицины, Лондонский университет . Получено 13 октября 2015 г.