Трансформация Стилтьеса

В математике преобразование Стилтьеса S ρ ₍ z ) меры плотности ρ на действительном интервале I представляет собой функцию комплексной переменной z, определяемую вне I формулой

$${\displaystyle S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{t-z}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.}$$

При определенных условиях мы можем восстановить функцию плотности ρ, начиная с ее преобразования Стилтьеса благодаря обратной формуле Стилтьеса-Перрона. Например, если плотность ρ непрерывна на протяжении I , то внутри этого интервала мы будем иметь

$${\displaystyle \rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.}$$

Связи с моментами мер

Если мера плотности ρ имеет моменты любого порядка, определяемые для каждого целого числа равенством $${\displaystyle m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,}$$

тогда преобразование Стилтьеса ρ допускает для каждого целого числа n асимптотическое разложение в окрестности бесконечности, заданное выражением $${\displaystyle S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).}$$

При определенных условиях можно получить полное разложение в ряд Лорана : $${\displaystyle S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.}$$

Отношения к ортогональным многочленам

Соответствие определяет скалярное произведение в пространстве непрерывных функций на интервале I. ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$

Если { P _n } — последовательность ортогональных многочленов для этого произведения, мы можем создать последовательность связанных вторичных многочленов по формуле $${\displaystyle Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$$

По-видимому, это аппроксимация Паде для S _ρ ( z ) в окрестности бесконечности в том смысле, что ${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$ $${\displaystyle S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).}$$

Поскольку эти две последовательности полиномов удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению в трех членах, мы можем разработать цепную дробь для преобразования Стилтьеса, последовательными сходящимися дробями которой являются дроби F _n ( z ) .

Преобразование Стилтьеса также можно использовать для построения из плотности ρ эффективной меры для преобразования вторичных полиномов в ортогональную систему. (Более подробную информацию см. в статье вторичная мера .)

Смотрите также

• Ортогональные многочлены
• Вторичные многочлены
• Вторичная мера

Ссылки

• HS Wall (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . D. Van Nostrand Company Inc.