В геометрии n -угольный трапецоэдр , n -трапецоэдр , n -антидипирамида , n -антибипирамида или n -дельтоэдр [3] , [4] является двойственным многогранником n -угольной антипризмы . 2 n граней n -трапецоэдра конгруэнтны и симметрично смещены ; они называются скрученными воздушными змеями . С более высокой симметрией его 2 n граней являются воздушными змеями (иногда также называемыми трапециями , или дельтоидами ). [5]
Часть названия " n -угольная " здесь относится не к граням, а к двум расположениям каждой из n вершин вокруг оси симметрии n -кратного порядка . Двойственная n -угольная антипризма имеет две фактические n -угольные грани.
n - угольный трапецоэдр можно разрезать на две равные n -угольные пирамиды и n -угольную антипризму .
Эти фигуры, иногда называемые дельта - эдрами [3], не следует путать с дельта- эдрами [ 4] , грани которых представляют собой равносторонние треугольники.
Скрученные тригональные , тетрагональные и гексагональные трапецоэдры (с шестью, восемью и двенадцатью скрученными конгруэнтными гранями кайта) существуют в виде кристаллов; в кристаллографии (описывающей кристаллические привычки минералов ) они просто называются тригональными , тетрагональными и гексагональными трапецоэдрами . У них нет плоскости симметрии и центра инверсионной симметрии; [6] , [7] но у них есть центр симметрии : точка пересечения их осей симметрии. Тригональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 3-го порядка, перпендикулярную трем осям симметрии 2-го порядка. [6] Тетрагональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 4-го порядка, перпендикулярную четырем осям симметрии 2-го порядка двух видов. Гексагональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 6-го порядка, перпендикулярную шести осям симметрии 2-го порядка двух видов. [8]
Кристаллические расположения атомов могут повторяться в пространстве с ячейками тригонального и гексагонального трапецоэдра. [9]
Также в кристаллографии слово трапецоэдр часто используется для многогранника с 24 конгруэнтными не скрученными гранями змея , который правильно называется дельтовидным икоситетраэдром [10] , который имеет восемнадцать вершин порядка 4 и восемь вершин порядка 3. Его не следует путать с додекагональным трапецоэдром , который также имеет 24 конгруэнтных грани змея, но две вершины порядка 12 (т. е. полюса) и два кольца по двенадцать вершин порядка 3 каждое.
В кристаллографии дельтовидный додекаэдр [11] имеет 12 конгруэнтных не скрученных граней-змеев, шесть вершин порядка 4 и восемь вершин порядка 3 ( ромбический додекаэдр является особым случаем). Его не следует путать с шестиугольным трапецоэдром , который также имеет 12 конгруэнтных граней-змеев, [8], но две вершины порядка 6 (т. е. полюса) и два кольца по шесть вершин порядка 3 каждое.
n -трапецоэдр определяется правильным зигзагообразным косым 2 n -угольником в основании, двумя симметричными вершинами без степеней свободы прямо над и прямо под основанием и четырехугольными гранями, соединяющими каждую пару смежных базовых ребер с одной вершиной.
n -трапецоэдр имеет две вершины на полярной оси и 2 n базальных вершин в двух правильных n -угольных кольцах. Он имеет 2 n конгруэнтных граней кайта и является равногранным .
Группа симметрии n -угольного трапецоэдра — D n d = D n v порядка 4 n , за исключением случая n = 3 : куб имеет большую группу симметрии O d порядка 48 = 4×(4×3) , которая имеет четыре версии D 3d в качестве подгрупп.
Группа вращений n - трапецоэдра равна D n порядка 2 n , за исключением случая n = 3 : куб имеет большую группу вращений O порядка 24 = 4×(2×3) , которая имеет четыре версии D 3 в качестве подгрупп.
Примечание: Каждый n -трапецоэдр с правильным зигзагообразным скошенным 2 n -угольником в основании и 2 n конгруэнтными нескрученными гранями имеет ту же (диэдральную) группу симметрии, что и двойственно-однородный n -трапецоэдр, для n ≥ 4 .
Одна степень свободы в пределах симметрии от D n d (порядок 4 n ) до D n (порядок 2 n ) превращает конгруэнтные воздушные змеи в конгруэнтные четырехугольники с тремя длинами ребер, называемые скрученными воздушными змеями , а n -трапецоэдр называется скрученным трапецоэдром . (В пределе одно ребро каждого четырехугольника стремится к нулевой длине, и n -трапецоэдр становится n -бипирамидой .)
Если воздушные змеи, окружающие две вершины, не скручены, а имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только симметрию C n v (циклическую с вертикальными зеркалами), порядок 2 n , и называется неравным или асимметричным трапецоэдром . Его двойственным является неравная n -антипризма с верхним и нижним n -угольниками разных радиусов.
Если воздушные змеи скручены и имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только симметрию C n (циклическую), порядок n и называется неравным скрученным трапецоэдром .
Звездчатый p / q -трапецоэдр (где 2 ≤ q < 1 p ) определяется правильным зигзагообразным косым звездчатым 2 p / q -угольником в основании , двумя симметричными вершинами без степеней свободы прямо над и прямо под основанием и четырехугольными гранями, соединяющими каждую пару смежных базальных ребер с одной вершиной.
Звездный p / q -трапецоэдр имеет две вершины на полярной оси и 2 p базальных вершин в двух правильных p -угольных кольцах. Он имеет 2 p конгруэнтных кайтовых граней и является изоэдральным .
Такой звездный p / q -трапецоэдр является самопересекающейся , скрещенной , или невыпуклой формой. Он существует для любой правильной зигзагообразной косой звезды 2 p / q -угольника с основанием (где 2 ≤ q < 1 p ).
Но если п/д < 3/2 , тогда ( p − q ) 360°/п < д/2 360°/п , поэтому двойная звездчатая антипризма (звездчатого трапецоэдра) не может быть однородной (т.е. не может иметь равные длины ребер); и если п/д = 3/2 , тогда ( p − q ) 360°/п = д/2 360°/п , поэтому двойная звездная антипризма должна быть плоской, а значит, вырожденной, чтобы быть однородной.
Двойственно -однородный звездный p / q -трапецоэдр имеет диаграмму Кокстера-Дынкина 
.
