Треугольник Брахмагупты

Треугольник, длины сторон которого являются последовательными положительными целыми числами, а площадь является положительным целым числом.

Треугольник Брахмагупты — это треугольник , длины сторон которого являются последовательными положительными целыми числами, а площадь — положительным целым числом. ^{[1] [2] [3]} Треугольник, длины сторон которого равны 3, 4, 5, является треугольником Брахмагупты, как и треугольник, длины сторон которого равны 13, 14, 15. Треугольник Брахмагупты — это особый случай треугольника Герона , который является треугольником, длины сторон и площадь которого являются положительными целыми числами, но длины сторон не обязательно должны быть последовательными целыми числами. Треугольник Брахмагупты назван так в честь индийского астронома и математика Брахмагупты (ок. 598 — ок. 668 н. э.), который дал список первых восьми таких треугольников, не объяснив метод, с помощью которого он вычислил этот список. ^{[1] [4]}

Треугольник Брахмагупты также называется треугольником Флинора-Герона в честь Чарльза Р. Флинора, который обсуждал эту концепцию в статье, опубликованной в 1996 году. ^{[5] [6] [7] [8]} Некоторые другие названия, под которыми известны треугольники Брахмагупты, — это супергеронов треугольник ^[9] и почти равносторонний геронов треугольник . ^[10]

Проблема нахождения всех треугольников Брахмагупты — старая проблема. Замкнутое решение проблемы было найдено Рейнхольдом Хоппе в 1880 году. ^[11]

Создание треугольников Брахмагупты

Пусть длины сторон треугольника Брахмагупты равны , а где — целое число, большее 1. Используя формулу Герона , можно показать, что площадь треугольника равна ${\displaystyle t-1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}{\sqrt {3{\big [}{\big (}{\tfrac {t}{2}}{\big )}^{2}-1{\big ]}}}}$

Так как должно быть целым числом, должно быть четным и поэтому его можно взять как где — целое число. Таким образом, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=2x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle A=x{\sqrt {3(x^{2}-1)}}}$

Так как должно быть целым числом, то для некоторого целого числа должно быть . Следовательно, должно удовлетворять следующему диофантову уравнению : ${\displaystyle {\sqrt {3(x^{2}-1)}}}$ ${\displaystyle x^{2}-1=3y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$.

Это пример так называемого уравнения Пелля с . Методы решения уравнения Пелля можно применить для нахождения значений целых чисел и . ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Треугольник Брахмагупты, где и — целые числа, удовлетворяющие уравнению . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}^{2}-3y_{n}^{2}=1}$

Очевидно , является решением уравнения . Принимая это решение за начальное, множество всех решений уравнения можно сгенерировать с помощью следующих рекуррентных соотношений ^[1] ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$ ${\displaystyle x_{1}=2,y_{1}=1}$ ${\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}}$

${\displaystyle x_{n+1}=2x_{n}+3y_{n},\quad y_{n+1}=x_{n}+2y_{n}{\text{ for }}n=1,2,\ldots }$

или по следующим соотношениям

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=4x_{n}-x_{n-1}{\text{ for }}n=2,3,\ldots {\text{ with }}x_{1}=2,x_{2}=7\\y_{n+1}&=4y_{n}-y_{n-1}{\text{ for }}n=2,3,\ldots {\text{ with }}y_{1}=1,y_{2}=4.\end{aligned}}}$

Их также можно сгенерировать с использованием следующего свойства:

${\displaystyle x_{n}+{\sqrt {3}}y_{n}=(x_{1}+{\sqrt {3}}y_{1})^{n}{\text{ for }}n=1,2,\ldots }$

Ниже приведены первые восемь значений и и соответствующие им треугольники Брахмагупты: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

Последовательность представлена ​​в записи A001075 в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей ( OEIS ), а последовательность представлена ​​в записи A001353 в OEIS. ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle \{y_{n}\}}$

Обобщенные треугольники Брахмагупты

В треугольнике Брахмагупты длины сторон образуют целочисленную арифметическую прогрессию с общей разностью 1. Обобщенный треугольник Брахмагупты — это геронов треугольник, в котором длины сторон образуют арифметическую прогрессию положительных целых чисел. Обобщенные треугольники Брахмагупты можно легко построить из треугольников Брахмагупты. Если — длины сторон треугольника Брахмагупты, то для любого положительного целого числа целые числа являются длинами сторон обобщенного треугольника Брахмагупты, которые образуют арифметическую прогрессию с общей разностью . Существуют обобщенные треугольники Брахмагупты, которые не генерируются таким образом. Примитивный обобщенный треугольник Брахмагупты — это обобщенный треугольник Брахмагупты, в котором длины сторон не имеют общих множителей, кроме 1. ^[12] ${\displaystyle t-1,t,t+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(t-1),kt,k(t+1)}$ ${\displaystyle k}$

Чтобы найти длины сторон таких треугольников, пусть длины сторон будут где — целые числа, удовлетворяющие . Используя формулу Герона, можно показать, что площадь треугольника равна ${\displaystyle t-d,t,t+d}$ ${\displaystyle b,d}$ ${\displaystyle 1\leq d\leq t}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\big (}{\tfrac {b}{4}}{\big )}{\sqrt {3(t^{2}-4d^{2})}}}$.

Для того, чтобы быть целым числом, должно быть четным и можно принять за некоторое целое число. Это делает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=2x}$

${\displaystyle A=x{\sqrt {3(x^{2}-d^{2})}}}$.

Поскольку, опять же, должно быть целым числом, должно быть в форме для некоторого целого числа . Таким образом, чтобы найти длины сторон обобщенных треугольников Брахмагупты, нужно найти решения следующего однородного квадратного диофантова уравнения: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x^{2}-d^{2}}$ ${\displaystyle 3y^{2}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=d^{2}}$.

Можно показать, что все примитивные решения этого уравнения имеют вид ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\vert m^{2}-3n^{2}\vert /g\\x&=(m^{2}+3n^{2})/g\\y&=2mn/g\end{aligned}}}$

где и — взаимно простые положительные целые числа и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g={\text{gcd}}(m^{2}-3n^{2},2mn,m^{2}+3n^{2})}$

Если мы возьмем, то получим треугольник Брахмагупты . Если мы возьмем, то получим треугольник Брахмагупты . Но если мы возьмем, то получим обобщенный треугольник Брахмагупты , который нельзя свести к треугольнику Брахмагупты. ${\displaystyle m=n=1}$ ${\displaystyle (3,4,5)}$ ${\displaystyle m=2,n=1}$ ${\displaystyle (13,14,15)}$ ${\displaystyle m=1,n=2}$ ${\displaystyle (15,26,37)}$

Смотрите также

• Полиномы Брахмагупты
• Четырехугольник Брахмагупты

Ссылки

1. RA Beauregard и ER Suryanarayan (январь 1998 г.). «Треугольники Брахмагупты» (PDF) . Математический журнал колледжа . 29 (1): 13–17. дои : 10.1080/07468342.1998.11973907 . Проверено 6 июня 2024 г.
2. Г. Якоб Мартенс (2021). «Рациональные прямоугольные треугольники и проблема конгруэнтных чисел». arXiv : 2112.09553 [math.GM]. {{cite arXiv}}: Неизвестный параметр |publisher=проигнорирован ( помощь )
3. Херб Бейли и Уильям Госнелл (октябрь 2012 г.). «Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии: перспектива вписанного радиуса». Mathematics Magazine . 85 (4): 290–294. doi :10.4169/math.mag.85.4.290.
4. Venkatachaliyengar, K. (1988). «Развитие математики в Древней Индии: роль Брахмагупты». В Subbarayappa, BV (ред.). Scientific Heritage of India: Proceedings of a National Seminar, 19-21 сентября 1986 г., Бангалор . The Mythic Society, Бангалор. стр. 36–48.
5. Чарльз Р. Флинор (1996). «Героновы треугольники с последовательными целыми сторонами». Журнал занимательной математики . 28 (2): 113–115.
6. NJA Sloane. "A003500". Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей . The OEIS Foundation Inc. Получено 6 июня 2024 г.
7. "Определение: Треугольник Флинора-Херона". Proof-Wiki . Получено 6 июня 2024 г. .
8. Во Донг То (2003). «Нахождение всех треугольников Флинора-Герона». Журнал развлекательной математики . 32 (4): 298–301.
9. Уильям Х. Ричардсон. «Супергероновы треугольники». www.wichita.edu . Wichita State University . Получено 7 июня 2024 г. .
10. Роджер Б. Нельсен (2020). «Почти равносторонние героновы треугольники». Mathematics Magazine . 93 (5): 378–379. doi :10.1080/0025570X.2020.1817708.
11. HW Gould (1973). «Треугольник с целыми сторонами и площадью» (PDF) . Fibonacci Quarterly . 11 : 27–39. doi :10.1080/00150517.1973.12430863 . Получено 7 июня 2024 г. .
12. Джеймс А. Макдугалл (январь 2003 г.). «Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии». Журнал занимательной математики . 31 : 189–196.