Трехчленное разложение

Формула в математике

Слои пирамиды Паскаля, полученные из коэффициентов в перевернутой троичной диаграмме членов разложений степеней трехчлена – число членов, очевидно, является треугольным числом

В математике трехчленное разложение — это разложение степени суммы трех членов в одночлены . Разложение задается формулой

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},}$

где n — неотрицательное целое число, а сумма берется по всем комбинациям неотрицательных индексов i , j и k таким образом, что i + j + k = n . [ ^1] Трехчленные коэффициенты задаются как

${\displaystyle {n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.}$

Эта формула является частным случаем формулы многочлена для m = 3. Коэффициенты могут быть определены с помощью обобщения треугольника Паскаля на три измерения, называемого пирамидой Паскаля или тетраэдром Паскаля. ^[2]

Вывод

Трехчленное разложение можно вычислить, применив биномиальное разложение дважды, установив , что приводит к ${\displaystyle d=b+c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}.\end{aligned}}}$

Выше результат во второй строке оценивается вторым применением биномиального разложения, вводя еще одно суммирование по индексу . ${\displaystyle (b+c)^{r}}$ ${\displaystyle s}$

Произведение двух биномиальных коэффициентов упрощается путем сокращения : ${\displaystyle r!}$

${\displaystyle {n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}{\frac {r!}{s!(r-s)!}}={\frac {n!}{(n-r)!(r-s)!s!}},}$

и сравнивая комбинации индексов здесь с комбинациями в показателях степеней, их можно переименовать в , что дает выражение, приведенное в первом абзаце. ${\displaystyle i=n-r,~j=r-s,~k=s}$

Характеристики

Число членов развернутого трехчлена — это треугольное число

${\displaystyle t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},}$

где n — показатель степени, в которую возводится трехчлен. ^[3]

Пример

Пример трехчленного разложения : ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}$

Смотрите также

• Биномиальное разложение
• Пирамида Паскаля
• Мультиномиальный коэффициент
• Треугольник с тремя членами

Ссылки

1. Коши, Томас (2004), Дискретная математика и ее приложения, Academic Press, стр. 889, ISBN 9780080477343.
2. Харрис, Джон; Хёрст, Джеффри Л.; Моссингхофф, Майкл (2009), Комбинаторика и теория графов, Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.), Springer, стр. 146, ISBN 9780387797113.
3. Розенталь, Э. Р. (1961), «Пирамида Паскаля для трехчленных коэффициентов», Учитель математики , 54 (5): 336–338, doi :10.5951/MT.54.5.0336.