Уникальное кольцо, состоящее из одного элемента
В теории колец , разделе математики , нулевое кольцо или тривиальное кольцо — это единственное кольцо (с точностью до изоморфизма ), состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого rng квадратного нуля , т. е. rng , в котором xy = 0 для всех x и y . В этой статье говорится о кольце из одного элемента.)
В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , тогда как кольцо целых чисел Z является начальным объектом .
Определение
Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного множества {0} с операциями + и ·, определенными таким образом, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.
Характеристики
- Нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 совпадают. (Доказательство: Если 1 = 0 в кольце R , то для всех r из R имеем r = 1 r = 0 r = 0. Доказательство последнего равенства можно найти здесь.)
- Нулевое кольцо коммутативно.
- Элемент 0 в нулевом кольце является единицей , служащей своей собственной мультипликативной инверсией .
- Группа единиц нулевого кольца — это тривиальная группа {0}.
- Элемент 0 в нулевом кольце не является делителем нуля .
- Единственный идеал в нулевом кольце — это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным , ни простым .
- Нулевое кольцо обычно исключается из полей , хотя иногда его называют тривиальным полем . Исключение его согласуется с тем фактом, что его нулевой идеал не является максимальным. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
- Нулевое кольцо обычно исключается из целостных доменов . Считается ли нулевое кольцо доменом вообще , является вопросом соглашения, но есть два преимущества в том, чтобы не считать его доменом. Во-первых, это согласуется с определением, что домен — это кольцо, в котором 0 является единственным делителем нуля (в частности, 0 требуется, чтобы быть делителем нуля, что не выполняется в нулевом кольце). Во-вторых, таким образом, для положительного целого числа n кольцо Z / n Z является доменом тогда и только тогда, когда n является простым числом, но 1 не является простым числом.
- Для каждого кольца A существует единственный гомоморфизм колец из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является конечным объектом в категории колец .
- Если A — ненулевое кольцо, то не существует гомоморфизма колец из нулевого кольца в A. В частности, нулевое кольцо не является подкольцом никакого ненулевого кольца.
- Нулевое кольцо — это уникальное кольцо характеристики 1.
- Единственный модуль для нулевого кольца — нулевой модуль. Он свободен от ранга א для любого кардинального числа א.
- Нулевое кольцо не является локальным кольцом . Однако оно является полулокальным кольцом .
- Нулевое кольцо является артиновым и (следовательно) нётеровым .
- Спектр нулевого кольца – пустая схема . [
- Размерность Крулля нулевого кольца равна −∞.
- Нулевое кольцо полупростое , но не простое .
- Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй ни над каким полем.
- Полное фактор-кольцо нулевого кольца равно ему самому.
Конструкции
Цитаты
Ссылки
- Артин, Майкл (1991), Алгебра , Prentice-Hall
- Атья, М.Ф.; Макдональд , И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Эддисон-Уэсли
- Bosch, Siegfried (2012), Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра , Springer
- Бурбаки, Н. , Алгебра I, Главы 1–3
- Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Springer
- Лэм, TY (2003), Упражнения по классической теории колец , Springer
- Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Springer