Троичный поиск

Алгоритм нахождения экстремумов унимодальной функции

Тернарный алгоритм поиска ^[1] — это метод в информатике для нахождения минимума или максимума унимодальной функции .

Функция

Предположим, что мы ищем максимум и знаем, что максимум лежит где-то между и . Для того, чтобы алгоритм был применим, должно быть некоторое значение , такое что ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

• для всех с , мы имеем , и ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle A\leq a<b\leq x}$ ${\displaystyle f(a)<f(b)}$
• для всех с , имеем . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle x\leq a<b\leq B}$ ${\displaystyle f(a)>f(b)}$

Алгоритм

Пусть будет унимодальной функцией на некотором интервале . Возьмем любые две точки и на этом отрезке: . Тогда есть три возможности: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [l;r]}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle l<m_{1}<m_{2}<r}$

• если , то искомый максимум не может быть расположен слева – . Значит, максимум далее имеет смысл искать только в интервале ${\displaystyle f(m_{1})<f(m_{2})}$ ${\displaystyle [l;m_{1}]}$ ${\displaystyle [m_{1};r]}$
• если , то ситуация аналогична предыдущей с точностью до симметрии. Теперь требуемый максимум не может находиться в правой части – , поэтому переходим к отрезку ${\displaystyle f(m_{1})>f(m_{2})}$ ${\displaystyle [m_{2};r]}$ ${\displaystyle [l;m_{2}]}$
• если , то поиск следует вести в , но этот случай можно отнести к любому из двух предыдущих (в целях упрощения кода). Рано или поздно длина отрезка станет немного меньше заданной константы, и процесс можно будет остановить. ${\displaystyle f(m_{1})=f(m_{2})}$ ${\displaystyle [m_{1};m_{2}]}$

Точки выбора и : ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

• ${\displaystyle m_{1}=l+(r-l)/3}$
• ${\displaystyle m_{2}=r-(r-l)/3}$

Порядок выполнения во времени

${\displaystyle T(n)=T(2n/3)+1=\Theta (\log n)}$

Рекурсивный алгоритм

def  ternary_search ( f ,  left ,  right ,  absolute_precision )  ->  float : """Слева и справа — текущие границы;  максимум находится между ними.  """ if abs ( right - left ) < absolute_precision : return ( left + right ) / 2              левая_третья  =  ( 2 * левая  +  правая )  /  3  правая_третья  =  ( левая  +  2 * правая )  /  3 если  f ( left_third )  <  f ( right_third ):  вернуть  ternary_search ( f ,  left_third ,  right ,  absolute_precision )  иначе :  вернуть  ternary_search ( f ,  left ,  right_third ,  absolute_precision )

Итеративный алгоритм

def  ternary_search ( f ,  left ,  right ,  absolute_precision )  ->  float : """Найти максимум унимодальной функции f() в пределах [left, right].  Чтобы найти минимум, поменяйте местами оператор if/else или сравнение.  """ while abs ( right - left ) >= absolute_precision : left_third = left + ( right - left ) / 3 right_third = right - ( right - left ) / 3                          если  f ( левая_третья )  <  f ( правая_третья ):  левая  =  левая_третья  иначе :  правая  =  правая_третья # Слева и справа — текущие границы; максимум между ними  return  ( слева  +  справа )  /  2

Смотрите также

• Метод Ньютона в оптимизации (можно использовать для поиска места, где производная равна нулю)
• Поиск золотого сечения (аналогично троичному поиску, полезно, если вычисление f занимает большую часть времени на итерацию)
• Алгоритм двоичного поиска (может использоваться для поиска места, где производная меняет знак)
• Интерполяционный поиск
• Экспоненциальный поиск
• Линейный поиск

Ссылки

1. "Тернарный поиск". cp-algorithms.com . Получено 21 августа 2023 г. .