Неравенство Турана – Кубилюса

Теорема вероятностной теории чисел об аддитивных комплекснозначных арифметических функциях

Неравенство Турана -Кубилиуса — математическая теорема вероятностной теории чисел . Это полезно для доказательства результатов о нормальном порядке арифметической функции . ^{[1] : 305–308} Теорема была доказана в частном случае в 1934 году Палом Тураном и обобщена в 1956 и 1964 годах Йонасом Кубилюсом . ^{[1] : 316}

Формулировка теоремы

Эта формулировка принадлежит Тененбаум . ^{[1] : 302} Другие формулировки находятся у Наркевича ^{[2] : 243} и у Cojocaru & Murty. ^{[3] : 45–46}

Предположим, f — аддитивная комплекснозначная арифметическая функция , и напишите p для произвольного простого числа и ν для произвольного положительного целого числа. Писать

${\displaystyle A(x)=\sum _{p^{\nu }\leq x}f(p^{\nu })p^{-\nu }(1-p^{-1})}$

и

${\displaystyle B(x)^{2}=\sum _{p^{\nu }\leq x}\left|f(p^{\nu })\right|^{2}p^{-\nu }.}$

Тогда существует функция ε( x ), которая обращается в ноль, когда x стремится к бесконечности, и такая, что для x ≥ 2 имеем

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}|f(n)-A(x)|^{2}\leq (2+\varepsilon (x))B(x)^{2}.}$

Приложения теоремы

Туран разработал неравенство, чтобы создать более простое доказательство теоремы Харди-Рамануджана о нормальном порядке числа ω( n ) различных простых делителей целого числа n . ^{[1] : 316} Изложение доказательства Турана есть в книге Харди и Райта, §22.11. ^[4] Тененбаум ^{[1] : 305–308} дает доказательство теоремы Харди-Рамануджана с использованием неравенства Турана-Кубилиуса и утверждает без доказательства несколько других приложений.

Примечания

1. Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 46. ​​Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-41261-7.
2. Наркевич, Владислав (1983). Теория чисел. Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9971-950-13-2.
3. Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-61275-6.
4. Харди, GH ; Райт, Э.М. (2008) [Первое издание, 1938 г.]. Введение в теорию чисел . Отредактировано доктором Хитом-Брауном и Джозефом Х. Сильверманом (Шестое изд.). Оксфорд, Оксфордшир: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921986-5.