Распределение лямбда Тьюки

Формализованное Джоном Тьюки , лямбда-распределение Тьюки представляет собой непрерывное, симметричное распределение вероятностей, определяемое в терминах его квантильной функции . Обычно оно используется для определения подходящего распределения (см. комментарии ниже) и не используется в статистических моделях напрямую.

Лямбда-распределение Тьюки имеет единственный параметр формы , $λ$ , и, как и другие распределения вероятностей, его можно преобразовать с помощью параметра местоположения , $μ$ , и параметра масштаба , $σ$ . Поскольку общая форма распределения вероятностей может быть выражена в терминах стандартного распределения, последующие формулы приведены для стандартной формы функции.

Функция квантиля

Для стандартной формы лямбда-распределения Тьюки функция квантиля (т.е. обратная функция к кумулятивной функции распределения ) и функция плотности квантиля имеют вид $~Q(p)~,$ $~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,$

\ Q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda =0~.\end{cases}}

q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.

Для большинства значений параметра формы $λ$ функция плотности вероятности (PDF) и кумулятивная функция распределения (CDF) должны быть вычислены численно. Лямбда-распределение Тьюки имеет простую, замкнутую форму для CDF и/или PDF только для нескольких исключительных значений параметра формы, например: $λ$ ∈ { 2, 1, ⁠ 1 /2⁠ , 0 } (см. равномерное распределение [случаи $λ$ $= 1$ и $λ$ $= 2$ ] и логистическое распределение [случай $λ$ $= 0$ ].

Однако для любого значения $λ$ как CDF, так и PDF можно табулировать для любого числа кумулятивных вероятностей $p$ , используя функцию квантиля $Q$ для вычисления значения $x$ для каждой кумулятивной вероятности $p$ , с плотностью вероятности, заданной как ⁠1/ $д$ ⁠ , обратная величина функции плотности квантиля. Как это обычно бывает со статистическими распределениями, лямбда-распределение Тьюки можно легко использовать, найдя значения в подготовленной таблице.

Моменты

Распределение лямбда Тьюки симметрично относительно нуля, поэтому ожидаемое значение этого распределения, если оно существует, равно нулю. Дисперсия существует для $λ$ $> -$ $⁠$ $1 / 2 ⁠$ ,и за исключением случая, когда $λ$ $= 0$ ,определяется формулой

\operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.

В более общем случае момент $n$ -го порядка конечен, когда $λ$ $>$ $⁠$ $-1 / н ⁠$ и выражается (за исключением случая, когда $λ$ $= 0$ )черезбета-функцию $Β$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ :

\mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (n-k)\ \lambda +1\ )~.

В силу симметрии функции плотности все моменты нечетных порядков, если они существуют, равны нулю.

L-моменты

В отличие от центральных моментов, L-моменты могут быть выражены в замкнутой форме. Для L -го момента, определяется как ^[3] $\lambda >-1\ ,$ $\ r$ $\ \ell _{r}\ ,$

{\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{}\\&={\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{aligned}}

Первые шесть L-моментов можно представить следующим образом: ^[3]

\ell _{1}=~~0\ ,

\ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,

\ell _{3}=~~0\ ,

\ell _{4}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[-{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {12}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {30}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {20}{\ 4+\lambda \ }}\ \right]\ ,

\ell _{5}=~~0\ ,

\ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.

Наиболее распространенное использование этого распределения — создание графика Tukey lambda PPCC набора данных . На основе значения $λ$ с наилучшей корреляцией, как показано на графике PPCC , предлагается подходящая модель для данных. Например, если наилучшее соответствие кривой данным происходит для значения $λ,$ равного или близкого к $0,14$ , то эмпирически данные могут быть хорошо смоделированы с помощью нормального распределения. Значения $λ$ менее 0,14 предполагают распределение с более тяжелым хвостом.

Миля при $λ$ $= 0$ ( логистическая ) будет указывать на довольно толстые хвосты, с экстремальным пределом при $λ$ $= -1$ , приближая версии Коши и малой выборки Стьюдента t . То есть, поскольку наилучшее значение $λ$ меняется от тонких хвостов при $0,14$ к толстым хвостам $-1$ , предлагается колоколообразная PDF с все более тяжелыми хвостами. Аналогично, оптимальное значение подгонки кривой $λ$ больше $0,14$ предполагает распределение с исключительно тонкими хвостами (исходя из точки зрения, что нормальное распределение само по себе имеет тонкий хвост с самого начала; экспоненциальное распределение часто выбирается в качестве примера хвостов, промежуточных между толстыми и тонкими).   

За исключением значений $λ,$ приближающихся к $0$ и ниже, все обсуждаемые функции PDF имеют конечный носитель , между ⁠−1 /| $λ$ |⁠ и ⁠+1 /| $λ$ |⁠ .

Поскольку распределение лямбда Тьюки является симметричным распределением, использование графика лямбда Тьюки PPCC для определения разумного распределения для моделирования данных применимо только к симметричным распределениям. Гистограмма данных должна предоставить доказательства того, могут ли данные быть разумно смоделированы с симметричным распределением. ^[4]

Ссылки

^ Васичек, Олдрич (1976). «Тест на нормальность, основанный на выборочной энтропии». Журнал Королевского статистического общества . Серия B. 38 (1): 54–59.
^ Шоу, У. Т.; МакКейб, Дж. (2009), «Выборка Монте-Карло с учетом характеристической функции: квантильная механика в импульсном пространстве», arXiv : 0903.1592 [q-fin.CP]
^ ab Karvanen, Juha; Nuutinen, Arto (2008). «Характеристика обобщенного лямбда-распределения с помощью L-моментов». Computational Statistics & Data Analysis . 52 (4): 1971–1983. arXiv : math/0701405 . doi :10.1016/j.csda.2007.06.021. S2CID 939977.
^ Джойнер, Брайан Л.; Розенблатт, Джоан Р. (1971). «Некоторые свойства диапазона в выборках из симметричных лямбда-распределений Тьюки». Журнал Американской статистической ассоциации . 66 (334): 394–399. doi :10.2307/2283943. JSTOR 2283943.

Внешние ссылки

«Распределение Тьюки-Лямбда». Галерея распределений. Справочник по инженерной статистике. Лаборатория информационных технологий NIST США . 1.3.6.6.15. EDA 366F.