Умбральное исчисление

Исторический термин в математике

В математике до 1970-х годов термин «теневое исчисление» относился к удивительному сходству между, казалось бы, не связанными между собой полиномиальными уравнениями и некоторыми теневыми методами, используемыми для их «доказательства». Эти методы были введены Джоном Блиссардом и иногда называются символическим методом Блиссарда . ^[1] Их часто приписывают Эдуарду Люкасу (или Джеймсу Джозефу Сильвестру ), который широко использовал этот метод. ^[2]

История

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгую основу, однако его попытка сделать этот вид аргумента логически строгим не увенчалась успехом.

Комбинаториаст Джон Риордан в своей книге «Комбинаторные тождества» , опубликованной в 1960 - х годах, широко использовал методы такого рода.

В 1970-х годах Стивен Роман , Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление с помощью линейных функционалов на пространствах многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера , включая полиномиальные последовательности биномиального типа и последовательности Аппеля , но может охватывать систематические методы соответствия исчисления конечных разностей .

Теневое исчисление 19-го века

Метод представляет собой процедуру обозначения, используемую для вывода тождеств, включающих индексированные последовательности чисел, притворяясь, что индексы являются показателями степеней . Если толковать его буквально, он абсурден, и тем не менее он успешен: тождества, выведенные с помощью теневого исчисления, также могут быть правильно выведены более сложными методами, которые можно понимать буквально без логических затруднений.

Пример включает полиномы Бернулли . Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальный коэффициент ):

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}$

и удивительно похожее соотношение для полиномов Бернулли :

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

Сравните также обычную производную

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

к очень похожему соотношению для полиномов Бернулли:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

Эти сходства позволяют строить теневые доказательства, которые на первый взгляд не могут быть правильными, но, кажется, работают в любом случае. Так, например, притворяясь, что индекс n  −  k является показателем степени:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},}$

и затем дифференцируя, получаем желаемый результат:

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

В приведенном выше примере переменная b — это «umbra» ( по-латыни — тень ).

См. также формулу Фаульхабера .

Умбрал Тейлор серия

В дифференциальном исчислении ряд Тейлора функции представляет собой бесконечную сумму членов, которые выражаются через производные функции в одной точке. То есть, действительная или комплекснозначная функция f  ( x ), которая является аналитической в ​​, может быть записана как: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Аналогичные соотношения наблюдались также в теории конечных разностей . Теневая версия ряда Тейлора задается похожим выражением, включающим k -е прямые разности полиномиальной функции f , ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}}$

где

${\displaystyle (x-a)_{k}=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots (x-a-k+1)}$

— это символ Похгаммера , используемый здесь для падающего последовательного продукта. Аналогичное соотношение сохраняется для обратных разностей и растущего факториала.

Этот ряд также известен как ряд Ньютона или разложение Ньютона вперед . Аналогия с разложением Тейлора используется в исчислении конечных разностей .

Современное теневое исчисление

Другой комбинатор, Джан-Карло Рота , указал, что тайна исчезает, если рассмотреть линейный функционал L на полиномах от z, определяемый формулой

${\displaystyle L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.}$

Тогда, используя определение полиномов Бернулли, а также определение и линейность L , можно записать

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}}$

Это позволяет заменить вхождения на , то есть переместить n из нижнего индекса в верхний индекс (ключевая операция теневого исчисления). Например, теперь мы можем доказать, что: ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle L((z+x)^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}}$

Позднее Рота заявил, что большая путаница возникла из-за неспособности различать три отношения эквивалентности , которые часто встречаются в этой теме и все из которых обозначены знаком «=».

В статье, опубликованной в 1964 году, Рота использовал теневые методы для установления рекурсивной формулы, которой удовлетворяют числа Белла , которые перечисляют разбиения конечных множеств.

В цитируемой ниже статье Романа и Роты теневое исчисление характеризуется как изучение теневой алгебры , определяемой как алгебра линейных функционалов на векторном пространстве полиномов от переменной x , с произведением L ₁ L ₂ линейных функционалов, определяемым как

${\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle .}$

Когда полиномиальные последовательности заменяют последовательности чисел как образы y ⁿ при линейном отображении L , то теневой метод рассматривается как существенный компонент общей теории специальных полиномов Роты, и эта теория является теневым исчислением согласно некоторым более современным определениям этого термина. ^[3] Небольшой пример этой теории можно найти в статье о полиномиальных последовательностях биномиального типа . Другой пример — статья под названием Последовательность Шеффера .

Позднее Рота широко применил теневое исчисление в своей совместной с Шеном работе для изучения различных комбинаторных свойств кумулянтов . [ ^4]

Смотрите также

• тень Бернулли
• Умбральная композиция полиномиальных последовательностей
• Исчисление конечных разностей
• Полиномы Пиддака
• Символический метод в теории инвариантов
• Полиномы Наруми

Примечания

1. * Блиссар, Джон (1861). «Теория общих уравнений». The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics . 4 : 279–305.
2. ET Bell, «История символического метода Блиссара с очерком жизни его изобретателя», The American Mathematical Monthly 45 :7 (1938), стр. 414–421.
3. Рота, GC; Каханер, Д.; Одлыжко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечно-операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .
4. Г.-К. Рота и Дж. Шен, «О комбинаторике кумулянтов», Журнал комбинаторной теории, Серия A , 91:283–304, 2000.

Ссылки

• Белл, ET (1938), «История символического метода Блиссара с очерком жизни его изобретателя», The American Mathematical Monthly , 45 (7), Математическая ассоциация Америки : 414–421, doi : 10.1080/00029890.1938.11990829, ISSN  0002-9890, JSTOR  2304144
• Роман, Стивен М.; Рота, Джан-Карло (1978), «Теневое исчисление», Advances in Mathematics , 27 (2): 95–188, doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 , ISSN  0001-8708, MR  0485417
• G.-C. Rota, D. Kahaner и A. Odlyzko , «Конечно-операторное исчисление», Journal of Mathematical Analysis and its Applications, т. 42, № 3, июнь 1973 г. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, Нью-Йорк, 1975 г.
• Роман, Стивен (1984), Теоретическое исчисление, Чистая и прикладная математика, т. 111, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, МР  0741185. Перепечатано Dover, 2005.
• Роман, С. (2001) [1994], "Теневое исчисление", Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теневое исчисление». MathWorld .
• A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). "A Selected Survey of Umbral Calculus" (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . Динамические обзоры. DS3 . Архивировано из оригинала (PDF) 2012-02-24.
• Роман, С. (1982), Теория теневого исчисления, I