Унитарный элемент

В математике элемент *-алгебры называется унитарным , если он обратим и его обратный элемент совпадает с его сопряженным элементом. ^[1]

Определение

Пусть будет *-алгеброй с единицей . Элемент называется унитарным, если . Другими словами, если обратим и выполняется, то является унитарным. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a=e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}=a^{*}}$ ${\displaystyle a}$

Множество унитарных элементов обозначается или . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$ ${\displaystyle U({\mathcal {A}})}$

Частным случаем особой важности является случай, когда — полная нормированная *-алгебра . Такая алгебра удовлетворяет C*-тождеству ( ) и называется C*-алгеброй . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Критерии

• Пусть — унитальная C*-алгебра и нормальный элемент . Тогда, является унитарным, если спектр состоит только из элементов группы окружности , т.е. . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}}$

Примеры

• Единица измерения унитарна. ^[3] ${\displaystyle e}$

Пусть — унитальная C*-алгебра, тогда: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Каждая проекция , т.е. каждый элемент с , является унитарным. Ведь спектр проекции состоит не более чем из и , как следует из непрерывного функционального исчисления . ^[4] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• Если — нормальный элемент C*-алгебры , то для каждой непрерывной функции на спектре непрерывное функциональное исчисление определяет унитарный элемент , если . ^[2] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} }$

Характеристики

Пусть — унитальная *-алгебра и . Тогда: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{U}}$

• Элемент является унитарным, так как . В частности, образует мультипликативную группу . ^[1] ${\displaystyle ab}$ ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$
• Элемент нормальный. ^[3] ${\displaystyle a}$
• Присоединенный элемент также унитарен, поскольку имеет место для инволюции *. ^[1] ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$
• Если является C*-алгеброй, имеет норму 1, т.е. [ ^5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=1}$

Смотрите также

• Унитарная матрица
• Унитарный оператор

Примечания

1. Диксмье 1977, стр. 5.
2. Kadison & Ringrose 1983, стр. 271.
3. Dixmier 1977, стр. 4–5.
4. Блэкадар 2006, стр. 57, 63.
5. Диксмье 1977, стр. 9.

Ссылки

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. стр. 57, 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Диксмье, Жак (1977). C*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0-7204-0762-1.Английский перевод Les C*-algèbres et leurs représentations (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр . Том 1 Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.