Линейная эластичность

Математическая модель деформации твердых тел

Линейная упругость — это математическая модель того, как твердые тела деформируются и становятся внутренне напряженными при заданных условиях нагрузки. Это упрощение более общей нелинейной теории упругости и раздел механики сплошных сред .

Основные "линеаризующие" предположения линейной упругости: бесконечно малые деформации или "малые" деформации (или деформации) и линейные соотношения между компонентами напряжения и деформации. Кроме того, линейная упругость действительна только для напряженных состояний, которые не производят текучести .

Эти предположения являются обоснованными для многих инженерных материалов и сценариев инженерного проектирования. Поэтому линейная упругость широко используется в структурном анализе и инженерном проектировании, часто с помощью конечно-элементного анализа .

Математическая формулировка

Уравнения, регулирующие линейно-упругую краевую задачу , основаны на трех тензорных частных дифференциальных уравнениях для баланса линейного импульса и шести бесконечно малых соотношениях деформации и смещения . Система дифференциальных уравнений дополняется набором линейных алгебраических определяющих соотношений .

Прямая тензорная форма

В прямой тензорной форме, которая не зависит от выбора системы координат, эти основные уравнения имеют вид: ^[1]

• Уравнение импульса Коши , которое является выражением второго закона Ньютона . В конвективной форме оно записывается как: $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• Уравнения деформации-перемещения : $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• Уравнения состояния . Для упругих материалов закон Гука описывает поведение материала и связывает неизвестные напряжения и деформации. Общее уравнение для закона Гука имеет вид $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

где — тензор напряжений Коши , — тензор бесконечно малых деформаций , — вектор смещения , — тензор жесткости четвертого порядка , — объемная сила на единицу объема, — плотность массы, представляет собой оператор набла , представляет собой транспонирование , представляет собой вторую материальную производную по времени и — внутреннее произведение двух тензоров второго порядка (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

Форма декартовых координат

Выраженные через компоненты относительно прямоугольной декартовой системы координат , основные уравнения линейной упругости имеют вид: ^[1]

• Уравнение движения : где нижний индекс является сокращением для и указывает , — тензор напряжений Коши , — плотность объемной силы, — плотность массы, — смещение. $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$ ${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$ ${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{i}}$
  Это 3 независимых уравнения с 6 независимыми неизвестными (напряжениями).
  В инженерной нотации они имеют вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• Уравнения деформации-перемещения : где - деформация. Это 6 независимых уравнений, связывающих деформации и смещения с 9 независимыми неизвестными (деформациями и смещениями). $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  В инженерной нотации они имеют вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• Уравнения состояния . Уравнение для закона Гука: где - тензор жесткости. Это 6 независимых уравнений, связывающих напряжения и деформации. Требование симметрии тензоров напряжений и деформаций приводит к равенству многих упругих констант, что сокращает число различных элементов до 21 ^[2] . $${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

Упругостатическая краевая задача для изотропно-однородной среды представляет собой систему из 15 независимых уравнений и равного числа неизвестных (3 уравнения равновесия, 6 уравнений деформации-перемещения и 6 определяющих уравнений). Задание граничных условий полностью определяет краевую задачу. Для решения системы можно использовать два подхода в зависимости от граничных условий краевой задачи: формулировка смещения и формулировка напряжения .

Цилиндрическая координатная форма

В цилиндрических координатах ( ) уравнения движения имеют вид ^[1] Соотношения деформации и перемещения имеют вид и определяющие соотношения такие же, как в декартовых координатах, за исключением того, что индексы , , теперь обозначают , , , соответственно. ${\displaystyle r,\theta ,z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

Сферическая координатная форма

В сферических координатах ( ) уравнения движения имеют вид ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( ро ) часто используется вместо r .

Тензор деформации в сферических координатах равен $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

(Изотропные) (не)однородные среды

В изотропных средах тензор жесткости дает соотношение между напряжениями (результирующими внутренними напряжениями) и деформациями (результирующими деформациями). Для изотропной среды тензор жесткости не имеет предпочтительного направления: приложенная сила будет давать те же смещения (относительно направления силы) независимо от направления, в котором приложена сила. В изотропном случае тензор жесткости можно записать: ^{[ требуется ссылка ]} где — символ Кронекера , K — объемный модуль упругости (или несжимаемость), а — модуль сдвига (или жесткость), два модуля упругости . Если среда неоднородна, изотропная модель имеет смысл, если среда является кусочно-постоянной или слабо неоднородной; в сильно неоднородной гладкой модели необходимо учитывать анизотропию. Если среда однородна , то модули упругости не будут зависеть от положения в среде. Уравнение состояния теперь можно записать как: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

Это выражение разделяет напряжение на скалярную часть слева, которая может быть связана со скалярным давлением, и бесследовую часть справа, которая может быть связана со сдвиговыми силами. Более простое выражение: ^{[3] [4]} где λ — первый параметр Ламе . Поскольку конститутивное уравнение — это просто набор линейных уравнений, деформация может быть выражена как функция напряжений следующим образом: ^[5] что снова является скалярной частью слева и бесследовой сдвиговой частью справа. Проще говоря: где — коэффициент Пуассона , а — модуль Юнга . $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$

Эластостатики

Эластостатика — это изучение линейной упругости в условиях равновесия, в которых все силы, действующие на упругое тело, в сумме равны нулю, а смещения не являются функцией времени. Уравнения равновесия тогда в инженерной нотации (с тау как касательное напряжение ), $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

В этом разделе будет обсуждаться только изотропный однородный случай.

Формулировка смещения

В этом случае смещения задаются всюду на границе. При таком подходе деформации и напряжения исключаются из формулы, оставляя смещения в качестве неизвестных, которые необходимо решить в основных уравнениях. Во-первых, уравнения деформации-смещения подставляются в основные уравнения (закон Гука), исключая деформации как неизвестные: Дифференцирование (предполагая , что и пространственно однородны) дает: Подстановка в уравнение равновесия дает: или (замена двойных (фиктивных) (=суммирующих) индексов k,k на j,j и перестановка индексов, ij на, ji после, в силу теоремы Шварца ) где и являются параметрами Ламе . Таким образом, единственными неизвестными остаются смещения, отсюда и название этой формулировки. Основные уравнения, полученные таким образом, называются уравнениями эластостатики , частным случаем стационарных уравнений Навье–Коши, приведенных ниже. $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$ $${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$ $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Вывод стационарных уравнений Навье–Коши в инженерной нотации

Сначала рассмотрим направление. Подставляя уравнения деформации-перемещения в уравнение равновесия в направлении, имеем ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)}$$ $${\displaystyle \tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)}$$

Тогда, подставляя эти уравнения в уравнение равновесия в -направлении, имеем ${\displaystyle x\,\!}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0}$$

Используя предположение, что и являются постоянными, мы можем переставить и получить: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0}$$

Следуя той же процедуре для -направления и -направления, мы имеем ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0}$$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0}$$

Последние 3 уравнения представляют собой стационарные уравнения Навье–Коши, которые можно также выразить в векторной форме как $${\displaystyle (\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}}$$

После расчета поля смещений смещения можно подставить в уравнения деформации-смещения для решения задач относительно деформаций, которые затем используются в материальных уравнениях для решения задач относительно напряжений.

Бигармоническое уравнение

Уравнение эластостатики можно записать так: $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

Принимая во внимание дивергенцию обеих частей уравнения эластостатики и предполагая, что объемные силы имеют нулевую дивергенцию (однородны в области) ( ), имеем ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$ $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

Отмечая, что суммированные индексы не обязательно должны совпадать, и что частные производные коммутируют, два дифференциальных члена оказываются одинаковыми, и мы имеем: из чего заключаем, что: $${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$ $${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

Принимая Лапласиан обеих частей уравнения эластостатики и предполагая дополнительно , ​​мы имеем ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$ $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

Из уравнения дивергенции первый член слева равен нулю (Примечание: снова, суммированные индексы не обязательно должны совпадать), и мы имеем: откуда заключаем, что: или, в свободной от координат нотации , что является просто бигармоническим уравнением в . $${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$ $${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

Формулировка стресса

В этом случае поверхностные натяжения задаются везде на границе поверхности. При таком подходе деформации и смещения исключаются, а напряжения остаются неизвестными, которые необходимо решить в основных уравнениях. После того, как поле напряжений найдено, деформации затем определяются с использованием основных уравнений.

Существует шесть независимых компонентов тензора напряжений, которые необходимо определить, однако в формулировке смещения существует только три компонента вектора смещения, которые необходимо определить. Это означает, что существуют некоторые ограничения, которые необходимо наложить на тензор напряжений, чтобы сократить число степеней свободы до трех. Используя конститутивные уравнения, эти ограничения выводятся непосредственно из соответствующих ограничений, которые должны выполняться для тензора деформации, который также имеет шесть независимых компонентов. Ограничения на тензор деформации выводятся непосредственно из определения тензора деформации как функции векторного поля смещения, что означает, что эти ограничения не вносят никаких новых понятий или информации. Именно ограничения на тензор деформации наиболее легко понять. Если упругую среду визуализировать как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после того, как среда деформирована, произвольный тензор деформации должен давать ситуацию, в которой искаженные кубы все еще подходят друг другу без перекрытия. Другими словами, для данной деформации должно существовать непрерывное векторное поле (смещение), из которого может быть выведен этот тензор деформации. Ограничения на тензор деформации, которые требуются для обеспечения этого, были открыты Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ». Это 81 уравнение, 6 из которых являются независимыми нетривиальными уравнениями, связывающими различные компоненты деформации. Они выражаются в индексной нотации как: В инженерной нотации они имеют вид: $${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

Деформации в этом уравнении затем выражаются через напряжения с использованием конститутивных уравнений, что приводит к соответствующим ограничениям на тензор напряжений. Эти ограничения на тензор напряжений известны как уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла : В особой ситуации, когда объемная сила однородна, приведенные выше уравнения сводятся к ^[6] $${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$ $${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

Необходимым, но недостаточным условием совместимости в этой ситуации является или . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

Эти ограничения, наряду с уравнением равновесия (или уравнением движения для эластодинамики), позволяют рассчитать поле тензора напряжений. После того, как поле напряжений рассчитано из этих уравнений, деформации могут быть получены из конститутивных уравнений, а поле смещения — из уравнений деформации-смещения.

Альтернативный метод решения заключается в выражении тензора напряжений через функции напряжений , которые автоматически дают решение уравнения равновесия. Функции напряжений затем подчиняются одному дифференциальному уравнению, которое соответствует уравнениям совместимости.

Решения для эластостатических случаев

Решение Томсона - сосредоточенная сила в бесконечной изотропной среде

Наиболее важным решением уравнения Навье–Коши или уравнения эластостатики является решение для силы, действующей в точке в бесконечной изотропной среде. Это решение было найдено Уильямом Томсоном (позже лордом Кельвином) в 1848 году (Томсон 1848). Это решение является аналогом закона Кулона в электростатике . Вывод дан в работе Ландау и Лифшица. ^{[7] : §8} Определив, где — коэффициент Пуассона, решение можно выразить как, где — вектор силы, приложенной в точке, а — тензорная функция Грина , которая может быть записана в декартовых координатах как: $${\displaystyle a=1-2\nu }$$ $${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle G_{ik}}$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

Его можно также компактно записать как: и его можно явно записать как: $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

В цилиндрических координатах ( ) это можно записать как: где r — полное расстояние до точки. ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

Особенно полезно записывать смещение в цилиндрических координатах для точечной силы, направленной вдоль оси z. Определение и как единичных векторов в направлениях и соответственно дает: ${\displaystyle F_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

Видно, что имеется составляющая смещения в направлении силы, которая убывает, как и в случае потенциала в электростатике, как 1/ r при больших r . Также имеется дополнительная составляющая, направленная вдоль ρ.

Решение Буссинеска–Черрути – сосредоточенная сила в начале бесконечного изотропного полупространства

Другое полезное решение — это решение точечной силы, действующей на поверхность бесконечного полупространства. Оно было выведено Буссинеском ^[8] для нормальной силы и Черрути для касательной силы, а вывод дан в работе Ландау и Лифшица. ^{[7] : §8} В этом случае решение снова записывается как тензор Грина, который стремится к нулю на бесконечности, а компонента тензора напряжений, нормальная к поверхности, исчезает. Это решение может быть записано в декартовых координатах как [напомним: и , = коэффициент Пуассона]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$ ${\displaystyle b=2(1-\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}}$$

Другие решения

• Точечная сила внутри бесконечного изотропного полупространства. ^[9]
• Точечная сила на поверхности изотропного полупространства. ^[6]
• Контакт двух упругих тел: решение Герца (см. код Matlab). ^[10] См. также страницу Контактная механика .

Эластодинамика в терминах перемещений

Эластодинамика — это изучение упругих волн , включающее линейную упругость с изменением во времени. Упругая волна — это тип механической волны , которая распространяется в упругих или вязкоупругих материалах. Упругость материала обеспечивает восстанавливающую силу волны. Когда они возникают в Земле в результате землетрясения или другого возмущения, упругие волны обычно называют сейсмическими волнами .

Уравнение линейного импульса — это просто уравнение равновесия с дополнительным инерционным членом: $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

Если материал подчиняется анизотропному закону Гука (с однородным по всему материалу тензором жесткости), то получаем уравнение смещения эластодинамики : $${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

Если материал изотропен и однороден, то получается (общее или переходное) уравнение Навье–Коши : $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

Уравнение упругой волны можно также выразить как, где — акустический дифференциальный оператор , а — дельта Кронекера . $${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$ $${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$ ${\displaystyle \delta _{kl}}$

В изотропных средах тензор жесткости имеет вид где - объемный модуль упругости (или несжимаемость), а - модуль сдвига (или жесткость), два упругих модуля . Если материал однороден (т.е. тензор жесткости постоянен по всему материалу), акустический оператор становится: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

Для плоских волн указанный выше дифференциальный оператор становится акустическим алгебраическим оператором : где — собственные значения с собственными векторами, параллельными и ортогональными направлению распространения соответственно. Соответствующие волны называются продольными и сдвиговыми упругими волнами. В сейсмологической литературе соответствующие плоские волны называются P-волнами и S-волнами (см. Сейсмическая волна ). $${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$ $${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$ ${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

Эластодинамика в терминах напряжений

Исключение перемещений и деформаций из основных уравнений приводит к уравнению Игначака эластодинамики ^[11] $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

В случае локальной изотропии это сводится к $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

Основные характеристики этой формулировки включают в себя: (1) избегает градиентов податливости, но вводит градиенты плотности массы; (2) она выводится из вариационного принципа; (3) она выгодна для решения задач начально-краевого значения натяжения, (4) допускает тензорную классификацию упругих волн, (5) предлагает ряд приложений в задачах распространения упругих волн; (6) может быть распространена на динамику классических или микрополярных твердых тел с взаимодействующими полями различных типов (термоупругие, пористые, насыщенные жидкостью, пьезоэлектроупругие...), а также на нелинейные среды.

Анизотропные однородные среды

Для анизотропных сред тензор жесткости более сложен. Симметрия тензора напряжений означает, что существует не более 6 различных элементов напряжения. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформации . Следовательно, тензор жесткости четвертого порядка может быть записан в виде матрицы (тензор второго порядка). Обозначение Фойгта является стандартным отображением для индексов тензора, ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

Используя эти обозначения, можно записать матрицу упругости для любой линейно-упругой среды в виде: $${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Как показано, матрица симметрична, это является результатом существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет . Следовательно, существует не более 21 различных элементов . ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}$$

Простейший анизотропный случай — кубическая симметрия — имеет 3 независимых элемента: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}$$

Случай поперечной изотропии , также называемый полярной анизотропией, (с одной осью (3-осью) симметрии) имеет 5 независимых элементов: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Когда поперечная изотропия слаба (т.е. близка к изотропии), для формул скоростей волн удобна альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена .

Случай ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Эластодинамика

Уравнение упругой динамики волн для анизотропных сред можно выразить как, где — акустический дифференциальный оператор , а — дельта Кронекера . $${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$ $${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$ ${\displaystyle \delta _{kl}}$

Плоские волны и уравнение Кристоффеля

Плоская волна имеет вид с единичной длиной. Она является решением волнового уравнения с нулевым воздействием, если и только если и составляют пару собственное значение/собственный вектор акустического алгебраического оператора Это условие распространения (также известное как уравнение Кристоффеля ) можно записать как, где обозначает направление распространения, а — фазовая скорость. $${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ $${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}$$ $${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$

Смотрите также

• Метод Кастильяно
• Уравнение импульса Коши
• Теорема Клапейрона
• Контактная механика
• Деформация
• Упругость (физика)
• ГРАДЕЛА
• закон Гука
• Теория бесконечно малых деформаций
• решение Мичелла
• Пластичность (физика)
• Проблема Синьорини
• Пружинная система
• Напряжение (механика)
• Стрессовые функции

Ссылки

1. Слотер, Уильям С. (2002). Линеаризованная теория упругости. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 978-1-4612-6608-2.
2. Беленький; Салаев (1988). «Эффекты деформации в слоистых кристаллах». Успехи физических наук . 155 (5): 89–127. дои : 10.3367/УФНр.0155.198805c.0089 .
3. Аки, Кейти ; Ричардс, Пол Г. (2002). Количественная сейсмология (2-е изд.). Mill Valley, Калифорния: University Science Books. ISBN 978-1-891389-63-4.
4. Механика сплошной среды для инженеров 2001 Mase, Ур. 5.12-2
5. Зоммерфельд, Арнольд (1964). Механика деформируемых тел . Нью-Йорк: Academic Press.
6. tribonet (2017-02-16). "Упругая деформация". Трибология . Получено 2017-02-16 .
7. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1986). Теория упругости (3-е изд.). Оксфорд, Англия: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
8. Буссинеск, Жозеф (1885). Применение потенциалов для достижения равновесия и движения эластичных твердых тел. Париж, Франция: Готье-Виллар.
9. Mindlin, RD (1936). "Сила в точке внутри полубесконечного твердого тела". Physics . 7 (5): 195–202. Bibcode :1936Physi...7..195M. doi :10.1063/1.1745385. Архивировано из оригинала 23 сентября 2017 г.
10. Герц, Генрих (1882). «Контакт твердых упругих тел». Журнал для королевы и математики . 92 .
11. Остоя-Стажевски, М. , (2018), Уравнение Игначака эластодинамики , Математика и механика твердого тела. doi :10.1177/1081286518757284