Уравнение Гельмгольца

Проблема собственных значений для оператора Лапласа

В математике уравнение Гельмгольца — это проблема собственных значений оператора Лапласа . Ему соответствует линейное уравнение в частных производных :

$${\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,}$$

∇ ²k ²fkволновым числомволновое уравнениеуравнение диффузииуравнение Шрёдингера

В оптике уравнение Гельмгольца — волновое уравнение для электрического поля . ^[1]

Уравнение названо в честь Германа фон Гельмгольца , изучавшего его в 1860 году. ^[2]

Мотивация и использование

Уравнение Гельмгольца часто возникает при изучении физических проблем, включающих уравнения в частных производных (ЧДУ) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой независимую от времени форму волнового уравнения , является результатом применения метода разделения переменных для уменьшения сложности анализа.

Например, рассмотрим волновое уравнение

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$

Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция u ( r , t ) на самом деле разделима:

$${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$$

Подставив эту форму в волновое уравнение и затем упростив, получим следующее уравнение:

$${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от r , тогда как правое выражение зависит только от t . В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны одному и тому же постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в технике решения линейных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения: одно для A ( r ) , другое для T ( t ):

$${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}$$

где мы выбрали без ограничения общности выражение − k ² для значения константы. ( В качестве константы разделения также допустимо использовать любую константу k ; − k ² выбрано только для удобства в получаемых решениях.)

Переставив первое уравнение, получим уравнение Гельмгольца:

$${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$$

Аналогично, после замены ω = kc , где k — волновое число , а ω — угловая частота (в предположении монохроматического поля), второе уравнение принимает вид

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}$$

Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной r и обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по времени. Решением во времени будет линейная комбинация функций синуса и косинуса , точный вид которых определяется начальными условиями, а вид решения в пространстве будет зависеть от граничных условий . Альтернативно, интегральные преобразования , такие как преобразование Лапласа или Фурье , часто используются для преобразования гиперболического УЧП в форму уравнения Гельмгольца.

Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в задачах таких областей физики, как исследование электромагнитного излучения , сейсмология и акустика .

Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных

Решение пространственного уравнения Гельмгольца:

$${\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A}$$

разделения переменных

Вибрирующая мембрана

Двумерным аналогом колеблющейся струны является колеблющаяся мембрана, края которой зажаты для неподвижности. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в 19 веке: прямоугольная мембрана Симеона Дени Пуассона в 1829 году, равносторонний треугольник Габриэля Ламе в 1852 году и круглая мембрана Альфреда Клебша в 1862 году. Эллиптический барабанный пластик изучал Эмиль. Матье , что приводит к дифференциальному уравнению Матье .

Если края фигуры представляют собой отрезки прямых, то решение интегрируемо или познаваемо в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается как конечная линейная комбинация плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. е. мембрана, зажатая ).

Если область представляет собой круг радиуса a , то уместно ввести полярные координаты r и θ . Уравнение Гельмгольца принимает вид

$${\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.}$$

Мы можем наложить граничное условие, согласно которому A обращается в нуль, если r = a ; таким образом

$${\displaystyle A(a,\theta )=0.}$$

метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида

$${\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),}$$

Θ2 π

$${\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}$$

$${\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.}$$

Из условия периодичности следует, что

$${\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,}$$

nR

$${\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),}$$

функция Бесселя J _n ( ρ )

$${\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}$$

ρ = крJn имеет бесконечно много _{корнейn} ,ρm _{, n}Ar = a

$${\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.}$$

Тогда общее решение A принимает форму обобщенного ряда Фурье , включающего произведения J _n ( km _,n r ) и синуса (или косинуса) nθ . Эти решения представляют собой формы вибрации круглого пластика барабана .

Трехмерные решения

В сферических координатах решение:

$${\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Это решение возникает из пространственного решения волнового уравнения и уравнения диффузии . Здесь jℓ ( kr ) и yℓ ( kr ₎ — сферические функции Бесселя , а _Y ^м
_ℓ( θ , φ ) — сферические гармоники (Абрамовиц и Стегун, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют указания граничных условий для использования в каждом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей также может потребоваться условие радиации (Зоммерфельд, 1949).

Записав r ₀ = ( x , y , z ) функция A ( r ₀ ) имеет асимптотику

$${\displaystyle A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty }$$

где функция f называется амплитудой рассеяния, а _u0 ( r0 ) — _{значение} A в каждой граничной _точке r0 .

Трехмерные решения с заданной функцией на двумерной плоскости

Для двумерной плоскости, где известно значение A, решение уравнения Гельмгольца определяется следующим образом: ^[3]

$${\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y'){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)\,dx'dy',}$$

где

• ${\displaystyle A'(x',y')}$- решение в двумерной плоскости,
• ${\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},}$

Когда z приближается к нулю, все вклады интеграла исчезают, за исключением r=0. Таким образом, до числового коэффициента, который можно проверить как 1, преобразуя интеграл в полярные координаты . ${\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)}$ ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$

Это решение важно в теории дифракции, например, при выводе дифракции Френеля .

Параксиальное приближение

В параксиальном приближении уравнения Гельмгольца ^[4] комплексная амплитуда A выражается как

$${\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}}$$

uu

$${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}$$

лапласиана ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

Это уравнение имеет важные применения в науке об оптике , где оно дает решения, описывающие распространение электромагнитных волн (света) в форме либо параболоидальных волн, либо гауссовских лучей . Большинство лазеров излучают лучи именно такой формы.

Предположение, при котором справедливо параксиальное приближение, состоит в том, что производная по z амплитудной функции u является медленно меняющейся функцией z :

$${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}$$

Это условие эквивалентно тому, что угол θ между волновым вектором k и оптической осью z мал: θ ≪ 1 .

Параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится подстановкой приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общий вид уравнения Гельмгольца следующим образом:

$${\displaystyle \nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.}$$

Расширение и аннулирование дает следующее:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.}$$

Из-за сформулированного выше параксиального неравенства слагаемым ∂ ² u /∂ z ² пренебрегают по сравнению с слагаемым k ·∂ u /∂ z . Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подстановка u ( r ) = A ( r ) e ^{− ikz} дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды A :

$${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0.}$$

Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца. ^[5]

Неоднородное уравнение Гельмгольца

Неоднородным уравнением Гельмгольца является уравнение

$${\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} )\ {\text{ in }}\mathbb {R} ^{n},}$$

ƒ  : R ⁿ → Cкомпактным носителемn = 1, 2, 3.экранированное уравнение Пуассонаk

Чтобы однозначно решить это уравнение, необходимо задать граничное условие на бесконечности, которым обычно является условие излучения Зоммерфельда.

$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0}$$

в пространственных измерениях для всех углов (т.е. любого значения ). Вот где координаты вектора . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ,\phi }$ ${\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

При этом условии решение неоднородного уравнения Гельмгольца имеет вид

$${\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )\,\mathrm {d} \mathbf {x'} }$$

(обратите внимание, что этот интеграл на самом деле относится к конечной области, поскольку f имеет компактный носитель). Здесь G — функция Грина этого уравнения, то есть решение неоднородного уравнения Гельмгольца с f , равным дельта-функции Дирака , поэтому G удовлетворяет

$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Выражение функции Грина зависит от размерности n пространства. Надо

$${\displaystyle G(x,x')={\frac {ie^{ik|x-x'|}}{2k}}}$$

n = 1

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}$$

n = 2H⁽¹⁾
₀функцией Ханкеля

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}}$$

n = 3| х | → ∞

Наконец, для общего n

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=c_{d}k^{p}{\frac {H_{p}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{p}}}}$$

где и . ^[6] ${\displaystyle p={\frac {n-2}{2}}}$ ${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{2i(2\pi )^{p}}}}$

Смотрите также

• Уравнение Лапласа (частный случай уравнения Гельмгольца)
• Расширение Вейля

Примечания

1. Бланш, Пьер-Александр (2014). Полевой справочник по голографии . Полевые гиды SPIE. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-9957-8.
2. Уравнение Гельмгольца, из Математической энциклопедии .
3. Мехрабхани С. и Шнайдер Т. (2017). Всегда ли дифракция Рэлея-Зоммерфельда является точным эталоном для алгоритмов высокоскоростной дифракции? Оптика экспресс, 25(24), 30229-30240.
4. Дж. В. Гудман. Введение в оптику Фурье (2-е изд.). стр. 61–62.
5. Грелла, Р. (1982). «Распространение и дифракция Френеля и уравнение параксиальной волны». Журнал оптики . 13 (6): 367–374. Бибкод : 1982JOpt...13..367G. дои : 10.1088/0150-536X/13/6/006.
6. Бьорн Энгквист; Хункай Чжао (ноябрь 2018 г.). «Приблизительная разделимость функции Грина уравнения Гельмгольца в пределе высоких частот». Сообщения по чистой и прикладной математике . 71 (11): 2220–2274. дои : 10.1002/cpa.21755.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен, ред. (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2002). «Глава 19». Математические методы в физике и технике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Райли, К.Ф. (2002). «Глава 16». Математические методы для ученых и инженеров . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). "Глава 3". Основы фотоники . Серия Уайли по чистой и прикладной оптике. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Зоммерфельд, Арнольд (1949). «Глава 16». Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0126546569.

• Хау, MS (1998). Акустика взаимодействия жидкости со структурами . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63320-8.

Внешние ссылки

• Уравнение Гельмгольца в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Уравнение Гельмгольца», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вибрирующая круглая мембрана Сэма Блейка, Демонстрационный проект Wolfram .
• Функции Грина для волны, уравнения Гельмгольца и Пуассона в двумерной безграничной области