Уравнение ЗФК

Уравнение реакции-диффузии

Уравнение ZFK , сокращение от уравнения Зельдовича–Франк-Каменецкого , является уравнением реакции-диффузии , которое моделирует распространение пламени предварительно смешанной смеси . Уравнение названо в честь Якова Зельдовича и Дэвида А. Франк-Каменецкого, которые вывели это уравнение в 1938 году, и также известно как уравнение Нагумо. ^{[1] [2]} Уравнение аналогично уравнению KPP, за исключением того, что оно содержит экспоненциальное поведение для члена реакции и принципиально отличается от уравнения KPP в отношении скорости распространения бегущей волны. В безразмерной форме уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}+\omega (\theta )}$

с типичной формой для заданной ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

где — безразмерная зависимая переменная (обычно температура), а — число Зельдовича . В режиме ZFK , . Уравнение сводится к уравнению Фишера для и, таким образом, соответствует режиму KPP . Минимальная скорость распространения (которая обычно является долговременной асимптотической скоростью) бегущей волны в режиме ZFK определяется выражением ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \gg 1}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$ ${\displaystyle U_{min}}$

${\displaystyle U_{ZFK}\propto {\sqrt {2\int _{0}^{1}\omega (\theta )d\theta }}}$

тогда как в режиме KPP он определяется как

${\displaystyle U_{KPP}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}.}$

Решение бегущей волны

Численное решение уравнения ZFK

Подобно уравнению Фишера , для этой задачи можно найти решение бегущей волны. Предположим, что волна движется справа налево с постоянной скоростью , тогда в координате, связанной с волной, т.е. , задача становится устойчивой. Уравнение ZFK сводится к ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z=x+Ut}$

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

удовлетворяющий граничным условиям и . Граничные условия удовлетворяются достаточно гладко, так что производная также исчезает при . Поскольку уравнение трансляционно инвариантно в направлении, дополнительное условие, скажем, например , может быть использовано для фиксации местоположения волны. Скорость волны получается как часть решения, таким образом составляя нелинейную задачу на собственные значения. ^[3] Численное решение приведенного выше уравнения, , собственное значение и соответствующий член реакции показаны на рисунке, рассчитанные для . ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$ ${\displaystyle d\theta /dz}$ ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta =15}$

Асимптотическое решение[4]

Режим ZFK формально анализируется с использованием асимптотики энергии активации . Поскольку велико, член сделает член реакции практически нулевым, однако этот член будет не пренебрежимо малым, если . Член реакции также исчезнет, ​​когда и . Поэтому ясно, что пренебрежимо малым везде, за исключением тонкого слоя вблизи правой границы . Таким образом, задача разделена на три области: внутреннюю диффузионно-реактивную область, окруженную с обеих сторон двумя внешними конвективно-диффузионными областями. ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle e^{-\beta (1-\theta )}}$ ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =1}$

Внешняя область

Задача для внешней области задается как

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}.}$

Решение, удовлетворяющее условию, — это . Это решение также сделано для того, чтобы удовлетворить (произвольный выбор) для фиксации положения волны где-то в области, поскольку задача трансляционно инвариантна в направлении. Так как , внешнее решение ведет себя как , что в свою очередь подразумевает ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ ${\displaystyle \theta =e^{Uz}}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\rightarrow 0^{-}}$ ${\displaystyle \theta =1+Uz+\cdots }$ ${\displaystyle d\theta /dz=U+\cdots .}$

Решение, удовлетворяющее условию , равно . Так как внешнее решение ведет себя как и, таким образом , . ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle z\rightarrow 0^{+}}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle d\theta /dz=0}$

Мы видим, что хотя непрерывна при , имеет скачок при . Переход между производными описывается внутренней областью. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle d\theta /dz}$ ${\displaystyle z=0}$

Внутренний регион

Во внутренней области, где , член реакции больше не является пренебрежимо малым. Для исследования структуры внутреннего слоя вводится растянутая координата, охватывающая точку, поскольку именно там приближается к единице согласно внешнему решению, и растянутая зависимая переменная согласно Подставляя эти переменные в основное уравнение и собирая только члены ведущего порядка, получаем ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \eta =\beta z,\,\Theta =\beta (1-\theta ).}$

${\displaystyle 2{\frac {d^{2}\Theta }{d\eta ^{2}}}=\Theta e^{-\Theta }.}$

Граничное условие как вытекает из локального поведения внешнего решения, полученного ранее, которое, когда мы записываем в терминах координаты внутренней зоны, становится и . Аналогично, как . мы находим . Первый интеграл приведенного выше уравнения после наложения этих граничных условий становится ${\displaystyle \eta \rightarrow -\infty }$ ${\displaystyle \Theta \rightarrow -U\eta =+\infty }$ ${\displaystyle d\Theta /d\eta =-U}$ ${\displaystyle \eta \rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \Theta =d\Theta /d\eta =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =\infty }-\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =0}&=\int _{0}^{\infty }\Theta e^{-\Theta }d\Theta \\U^{2}&=1\end{aligned}}}$

что подразумевает . Из первого интеграла ясно, что квадрат скорости волны пропорционален интегрированному (по ) значению (конечно, в большом пределе вклад в этот интеграл вносит только внутренняя зона). Первый интеграл после подстановки имеет вид ${\displaystyle U=1}$ ${\displaystyle U^{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle U=1}$

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\eta }}=-{\sqrt {1-(\Theta +1)\exp(-\Theta )}}.}$

Переход КПП–ЗФК

Черная линия: численно вычислено ; Красная линия: ; Синяя линия: . ${\displaystyle U(\beta )}$ ${\displaystyle U_{KPP}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$ ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$

В режиме KPP для используемого здесь термина реакции скорость KPP, применимая для, определяется выражением ^[5] ${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$

${\displaystyle U_{KPP}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$

тогда как в режиме ZFK, как мы видели выше . Численное интегрирование уравнения для различных значений показало, что существует критическое значение такое, что только для , Для , больше , чем . По мере того как , приближается тем самым к режиму ZFK. Область между режимом KPP и режимом ZFK называется зоной перехода KPP–ZFK. ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta _{*}=1.64}$ ${\displaystyle \beta \leq \beta _{*}}$ ${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta _{*}}$ ${\displaystyle U_{min}}$ ${\displaystyle U_{KPP}}$ ${\displaystyle \beta \gg 1}$ ${\displaystyle U_{min}}$ ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$

Критическое значение зависит от модели реакции, например, получаем

${\displaystyle \beta _{*}=3.04\quad {\text{for}}\quad \omega \propto (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

${\displaystyle \beta _{*}=5.11\quad {\text{for}}\quad \omega \propto (1-\theta )^{2}e^{-\beta (1-\theta )}.}$

Модель Клавина–Линьяна

Для аналитического прогнозирования перехода KPP–ZFK Пол Клавин и Амабль Линьян предложили простую кусочно-линейную модель ^[6]

${\displaystyle \omega (\theta )={\begin{cases}\theta \quad {\text{if}}\quad 0\leq \theta \leq 1-\epsilon ,\\h(1-\theta )/\epsilon ^{2}\quad {\text{if}}\quad 1-\epsilon \leq \theta \leq 1\end{cases}}}$

где и являются константами. Скорость KPP модели равна , тогда как скорость ZFK получается как в двойном пределе и это имитирует резкое увеличение реакции вблизи . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle U_{KPP}=2}$ ${\displaystyle U_{ZFK}={\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle h\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \theta =1}$

Для этой модели существует критическое значение, такое что ${\displaystyle h_{*}=1-\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}h<h_{*}:&\quad U_{min}=U_{KPP},\\h>h_{*}:&\quad U_{min}={\frac {h/(1-\epsilon )+1-\epsilon }{\sqrt {h/(1-\epsilon )-\epsilon }}},\\h\gg h_{*}:&\quad U_{min}\rightarrow U_{ZFK}\end{cases}}}$

Смотрите также

• Уравнение Фишера

Ссылки

1. Зельдович, Ю. Б., Франк-Каменецкий, Д. А. (1938). Теория теплового распространения пламени. Журнал физики и химии, 12, 100-105.
2. Бикташев, ВН; Идрис, И. (2008). «Инициация волн возбуждения: аналитический подход». 2008 Компьютеры в кардиологии . С. 311–314. doi :10.1109/CIC.2008.4749040. ISBN 978-1-4244-3706-1. S2CID  15607806.
3. Эванс, LC (2010). Уравнения с частными производными (т. 19). Американское математическое общество.
4. Уильямс, ФА (2018). Теория горения. CRC Press.
5. Clavin, P., & Searby, G. (2016). Волны горения и фронты в потоках: пламя, ударные волны, детонации, фронты абляции и взрывы звезд. Cambridge University Press.
6. Clavin, P., & Liñán, A. (1984). Теория газового горения. В Nonequilibrium Cooperative Phenomena in Physics and Related Fields (стр. 291-338). Springer, Boston, MA.