Уравнение Кадомцева–Петвиашвили

Пересекающиеся волны , состоящие из околокноидальных волновых поездов. Фотография сделана с маяка Phares des Baleines (Китовый маяк) в западной точке острова Ре (Иль-де-Ре), Франция, в Атлантическом океане . Взаимодействие таких околосолитонов на мелководье можно смоделировать с помощью уравнения Кадомцева–Петвиашвили.

В математике и физике уравнение Кадомцева –Петвиашвили (часто сокращенно уравнение КП ) — это уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения . Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили , уравнение КП обычно записывается как где . Приведенная выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения , x и y , одномерного уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) . Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x , т. е. с только медленными изменениями решений в направлении y . $${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxx}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$$ ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Его также можно решить с помощью обратного преобразования рассеяния , как и нелинейное уравнение Шредингера . ^[6]

В 2002 году регуляризованная версия уравнения КП, естественно называемая уравнением Бенджамина – Бона – Махони – Кадомцева – Петвиашвили (или просто уравнением ББМ-КП ), была введена в качестве альтернативной модели для длинных волн малой амплитуды на мелководье, движущихся в основном в направлении x в пространстве 2+1. ^[7]

${\displaystyle \displaystyle \partial _{x}(\partial _{t}u+u\partial _{x}u+\epsilon ^{2}\partial _{xxt}u)+\lambda \partial _{yy}u=0}$

где . Уравнение BBM-KP представляет собой альтернативу обычному уравнению KP, аналогично тому, как уравнение Бенджамина–Бона–Махони связано с классическим уравнением Кортевега–де Фриза , поскольку линеаризованное дисперсионное соотношение BBM-KP является хорошим приближением к соотношению KP, но не демонстрирует нежелательного предельного поведения, когда переменная Фурье, дуальная к x, приближается к . Уравнение BBM-KP можно рассматривать как слабое поперечное возмущение уравнения Бенджамина–Бона–Махони . В результате решения соответствующих им задач Коши имеют интригующую и сложную математическую связь. Агилар и др. доказали, что решение задачи Коши для модельного уравнения BBM-KP сходится к решению задачи Коши, связанной с уравнением Бенджамина–Бона–Махони в -основанном пространстве Соболева для всех , при условии, что их соответствующие начальные данные близки по как поперечная переменная . ^[8] ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle H_{x}^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{x}^{k}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$

История

Борис Кадомцев.

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Борисовичем Кадомцевым (1928–1998) и Владимиром Ивановичем Петвиашвили (1936–1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдВ (выведенного Кортевегом и Де Вризом в 1895 году). В то время как в уравнении КдВ волны строго одномерны, в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, как в уравнении КдВ, так и в уравнении КП волны должны распространяться в положительном направлении оси x .

Связь с физикой

Уравнение КП можно использовать для моделирования волн на воде большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и дисперсией частот . Если поверхностное натяжение слабое по сравнению с гравитационными силами , используется ; если поверхностное натяжение сильное, то . Из-за асимметрии в том, как x- и y -члены входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения ( x -направление) и поперечном ( y ) направлении; колебания в y -направлении имеют тенденцию быть более плавными (иметь малое отклонение). ${\displaystyle \lambda =+1}$ ${\displaystyle \lambda =-1}$

Уравнение КП также можно использовать для моделирования волн в ферромагнитных средах ^[9], а также двумерных импульсов материя-волна в конденсатах Бозе-Эйнштейна .

Ограничивающее поведение

Для типичные колебания, зависящие от x, имеют длину волны, дающую сингулярный предельный режим как . Предел называется пределом без дисперсии . ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ ${\displaystyle O(1/\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

Если мы также предположим, что решения не зависят от y как , то они также удовлетворяют невязкому уравнению Бюргерса : ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=0.}$

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дэви–Стюартсона . ${\displaystyle O(\epsilon )}$

Смотрите также

• Уравнение Новикова–Веселова
• проблема Шоттки
• Бездисперсионное уравнение КП

Ссылки

1. Wazwaz, AM (2007). «Многосолитонные решения для уравнения КП с помощью билинейного метода Хироты и метода tanh–coth». Прикладная математика и вычисления . 190 (1): 633–640. doi :10.1016/j.amc.2007.01.056.
2. Cheng, Y.; Li, YS (1991). «Ограничение уравнения Кадомцева-Петвиашвили и его специальные решения». Physics Letters A. 157 ( 1): 22–26. Bibcode :1991PhLA..157...22C. doi :10.1016/0375-9601(91)90403-U.
3. Ma, WX (2015). «Комковые решения уравнения Кадомцева–Петвиашвили». Physics Letters A. 379 ( 36): 1975–1978. Bibcode :2015PhLA..379.1975M. doi :10.1016/j.physleta.2015.06.061.
4. Кодама, Y. (2004). «Диаграммы Юнга и N-солитонные решения уравнения КП». Журнал физики A: Mathematical and General . 37 (46): 11169–11190. arXiv : nlin/0406033 . Bibcode : 2004JPhA...3711169K. doi : 10.1088/0305-4470/37/46/006. S2CID  2071043.
5. Дэн, СФ; Чэнь, ДЙ; Чжан, ДЖ (2003). «Многосолитонные решения уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал Физического общества Японии . 72 (9): 2184–2192. Bibcode : 2003JPSJ...72.2184D. doi : 10.1143/JPSJ.72.2184.
6. Ablowitz, MJ; Segur, H. (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . SIAM.
7. Bona, JL ; Liu, Y.; Tom, MM (2002). «Задача Коши и устойчивость решений с уединенной волной для уравнений типа RLW-KP». Журнал дифференциальных уравнений . 185 (2): 437–482. Bibcode : 2002JDE...185..437B. doi : 10.1006/jdeq.2002.4171 .
8. Агилар, Дж. Б.; Том, М. М. (2024). «Сходимость решений уравнений моделей BBM и BBM-KP». Дифференциальные и интегральные уравнения . 37 (3/4): 187–206. arXiv : 2204.06016 . doi : 10.57262/die037-0304-187 .
9. Леблон, Х. (2002). «Композиции КП в ферромагнетиках: трехмерная модель КдФ–Бюргерса». Журнал физики A: Mathematical and General . 35 (47): 10149–10161. Bibcode : 2002JPhA...3510149L. doi : 10.1088/0305-4470/35/47/313.
10. Захаров, VE (1994). "Бездисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях". Сингулярные пределы дисперсионных волн . Бостон: Springer. С. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.
11. Strachan, IA (1995). "Скобка Мойала и бездисперсионный предел иерархии КП". Journal of Physics A: Mathematical and General . 28 (7): 1967. arXiv : hep-th/9410048 . Bibcode : 1995JPhA...28.1967S. doi : 10.1088/0305-4470/28/7/018. S2CID  15334780.
12. Takasaki, K.; Takebe, T. (1995). «Интегрируемые иерархии и предел без дисперсии». Обзоры по математической физике . 7 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Bibcode :1995RvMaP...7..743T. doi :10.1142/S0129055X9500030X. S2CID  17351327.

Дальнейшее чтение

• Кадомцев, Б.Б.; Петвиашвили, ВИ (1970). «Об устойчивости уединенных волн в слабодисперсных средах». Докл. АН СССР . 15 : 539–541. Bibcode :1970SPhD...15..539K.. Перевод «Об устойчивости изолированных волн в слабодиспергирующих средах». Доклады Академии наук СССР . 192 : 753–756.
• Кодама, Y. (2017). KP Солитоны и грассманианы: комбинаторика и геометрия двумерных волновых структур . Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
• Lou, SY; Hu, XB (1997). «Бесконечное множество пар Лакса и ограничения симметрии уравнения КП». Журнал математической физики . 38 (12): 6401–6427. Bibcode : 1997JMP....38.6401L. doi : 10.1063/1.532219.
• Minzoni, AA; Smyth, NF (1996). "Эволюция кусковых решений для уравнения КП". Wave Motion . 24 (3): 291–305. Bibcode :1996WaMot..24..291M. CiteSeerX  10.1.1.585.6470 . doi :10.1016/S0165-2125(96)00023-6.
• Накамура, А. (1989). «Билинейная N-солитонная формула для уравнения КП». Журнал Физического общества Японии . 58 (2): 412–422. Bibcode : 1989JPSJ...58..412N. doi : 10.1143/JPSJ.58.412.
• Превиато, Эмма (2001) [1994], "Уравнение КП", Энциклопедия математики , EMS Press
• Xiao, T.; Zeng, Y. (2004). "Обобщенные преобразования Дарбу для уравнения КП с самосогласованными источниками". Journal of Physics A: Mathematical and General . 37 (28): 7143. arXiv : nlin/0412070 . Bibcode :2004JPhA...37.7143X. doi :10.1088/0305-4470/37/28/006. S2CID  18500877.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кадомцева–Петвиашвили». MathWorld .
• Джиони Биондини и Дмитрий Пелиновский (ред.). "Уравнение Кадомцева–Петвиашвили". Scholarpedia .
• Бернард Деконинк. "Страница КП". Вашингтонский университет , кафедра прикладной математики. Архивировано из оригинала 2006-02-06 . Получено 2006-02-27 .