Уравнение Кармана–Ховарта

Математическое уравнение

В изотропной турбулентности уравнение Кармана–Ховарта (по Теодору фон Карману и Лесли Ховарту , 1938), которое выводится из уравнений Навье–Стокса , используется для описания эволюции безразмерной продольной автокорреляции . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Математическое описание

Рассмотрим двухточечный тензор корреляции скорости для однородной турбулентности.

${\displaystyle R_{ij}(\mathbf {r} ,t)={\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}.}$

Для изотропной турбулентности этот тензор корреляции можно выразить через две скалярные функции, используя инвариантную теорию полной группы вращения, впервые выведенную Говардом П. Робертсоном в 1940 году ^[6]

${\displaystyle R_{ij}(\mathbf {r} ,t)=u'^{2}\left\{[f(r,t)-g(r,t)]{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{2}}}+g(r,t)\delta _{ij}\right\},\quad f(r,t)={\frac {R_{11}}{u'^{2}}},\quad g(r,t)={\frac {R_{22}}{u'^{2}}}}$

где — среднеквадратическая турбулентная скорость, а — турбулентная скорость во всех трех направлениях. Здесь — продольная корреляция, а — боковая корреляция скорости в двух различных точках. Из уравнения непрерывности имеем ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle u_{1},\ u_{2},\ u_{3}}$ ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle {\frac {\partial R_{ij}}{\partial r_{j}}}=0\quad \Rightarrow \quad g(r,t)=f(r,t)+{\frac {r}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}f(r,t)}$

Таким образом однозначно определяет двухточечную корреляционную функцию. Теодор фон Карман и Лесли Ховарт вывели уравнение эволюции для из уравнения Навье–Стокса как ${\displaystyle f(r,t)}$ ${\displaystyle f(r,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u'^{2}f)-{\frac {u'^{3}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{4}h)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)}$

где однозначно определяет тройной корреляционный тензор ${\displaystyle h(r,t)}$

${\displaystyle S_{ij}={}{\frac {\partial }{\partial r_{k}}}\left({\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}-{\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}\right).}$

Инвариант Лойцианского

Л.Г. Лойцианский в 1939 году вывел интегральный инвариант для затухания турбулентности, взяв четвертый момент уравнения Кармана–Ховарта, ^{[7] [8]} т.е.,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr\right)=\left[2\nu u'^{2}r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}+u'^{3}r^{4}h\right]_{0}^{\infty }.}$

Если затухает быстрее, чем и также в этом пределе, если мы предположим, что исчезает, то мы имеем величину, ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle r^{-3}}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle r^{4}h}$

${\displaystyle \Lambda =u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr=\mathrm {constant} }$

который является инвариантом. Лев Ландау и Евгений Лифшиц показали, что этот инвариант эквивалентен сохранению углового момента . ^[9] Однако Ян Праудман и У. Х. Рид показали, что этот инвариант не всегда выполняется, поскольку в общем случае не равен нулю, по крайней мере, в начальный период распада. ^{[10] [11]} В 1967 году Филипп Саффман показал, что этот интеграл зависит от начальных условий и интеграл может расходиться при определенных условиях. ^[12] ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow \infty }(r^{4}h)}$

Затухание турбулентности

Для течений с преобладанием вязкости во время затухания турбулентности уравнение Кармана–Ховарта сводится к уравнению теплопроводности, если пренебречь тензором тройной корреляции, т. е.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u'^{2}f)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$

При соответствующих граничных условиях решение приведенного выше уравнения имеет вид ^[13]

${\displaystyle f(r,t)=e^{-r^{2}/8\nu t},\quad u'^{2}=\mathrm {const.} \times (\nu t)^{-5/2}}$

так что,

${\displaystyle R_{ij}(r,t)\sim (\nu t)^{-5/2}e^{-r^{2}/8\nu t}.}$

Смотрите также

• Уравнение Кармана-Ховарта-Монина ( анизотропное обобщение Андреем Мониным соотношения Кармана-Ховарта)
• Уравнение Бэтчелора–Чандрасекара (однородная осесимметричная турбулентность)
• Уравнение Коррсина (соотношение Кармана–Ховарта для скалярного уравнения переноса)
• Инвариант Чандрасекара (инвариант флуктуации плотности в изотропной однородной турбулентности)

Ссылки

1. Де Карман, Т. и Ховарт, Л. (1938). О статистической теории изотропной турбулентности. Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 164(917), 192–215.
2. Монин, А.С. и Яглом, А.М. (2013). Статистическая механика жидкости, том II: Механика турбулентности (т. 2). Courier Corporation.
3. Бэтчелор, Г. К. (1953). Теория однородной турбулентности. Издательство Кембриджского университета.
4. Панчев, С. (2016). Случайные функции и турбулентность: Международная серия монографий по натуральной философии (т. 32). Elsevier.
5. Хинце, Дж. О. (1959). Турбулентность, (1975). Нью-Йорк.
6. Робертсон, Х. П. (1940, апрель). Инвариантная теория изотропной турбулентности. В Математических трудах Кембриджского философского общества (т. 36, № 2, стр. 209–223). Cambridge University Press.
7. Лойцианский, Л.Г. (1939) Einige Grundgesetze einer isotropen turbulenten Strömung. Арбайтен д. Центр. Аэро-Гидридин. Ин-т, 440.
8. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1959). Fluid Mechanics Pergamon. Нью-Йорк, 61.
9. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1987). Механика жидкости. 1987. Курс теоретической физики.
10. Праудман, И. и Рид, У. Х. (1954). О распаде нормально распределенного и однородного турбулентного поля скорости. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 247(926), 163-189.
11. Batchelor, GK, & Proudman, I. (1956) Крупномасштабная структура однородной турбулентности. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 248(949), 369-405.
12. Саффман, ПГ (1967). Крупномасштабная структура однородной турбулентности. Журнал механики жидкости, 27(3), 581-593.
13. Спигель, Э. А. (ред.). (2010). Теория турбулентности: Лекции Субраманьяна Чандрасекара 1954 года (т. 810). Springer.