Уравнение Швингера–Дайсона

Уравнения для корреляционных функций в КТП

Фримен Дайсон в 2005 году

Уравнения Швингера–Дайсона ( SDE ) или уравнения Дайсона–Швингера , названные в честь Джулиана Швингера и Фримена Дайсона , являются общими соотношениями между корреляционными функциями в квантовых теориях поля (QFT). Их также называют уравнениями Эйлера–Лагранжа квантовых теорий поля, поскольку они являются уравнениями движения, соответствующими функции Грина. Они образуют набор бесконечного числа функциональных дифференциальных уравнений, все из которых связаны друг с другом, иногда называемый бесконечной башней SDE.

В своей статье «S-матрица в квантовой электродинамике» ^[1] Дайсон вывел соотношения между различными элементами S-матрицы , или более конкретно «одночастичные функции Грина», в квантовой электродинамике , суммируя бесконечное множество диаграмм Фейнмана , работая таким образом в пертурбативном подходе. Начиная со своего вариационного принципа , Швингер вывел набор уравнений для функций Грина непертурбативно, ^[2] которые обобщают уравнения Дайсона до уравнений Швингера–Дайсона для функций Грина квантовых теорий поля . Сегодня они обеспечивают непертурбативный подход к квантовым теориям поля, и приложения можно найти во многих областях теоретической физики, таких как физика твердого тела и физика элементарных частиц .

Швингер также вывел уравнение для двухчастичных неприводимых функций Грина ^[2] , которое в настоящее время называется неоднородным уравнением Бете–Солпитера .

Вывод

Если задан полиномиально ограниченный функционал над конфигурациями поля, то для любого вектора состояния (который является решением КТП) имеем ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right|\psi \right\rangle }$

где — функционал действия , а — операция упорядочения по времени . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Эквивалентно, в формулировке состояния плотности , для любого (допустимого) состояния плотности , мы имеем ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \varphi }}F[\varphi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\varphi ]{\frac {\delta }{\delta \varphi }}S[\varphi ]\right\}\right).}$

Этот бесконечный набор уравнений можно использовать для непертурбативного решения корреляционных функций .

Чтобы сделать связь с диаграммными методами (например, диаграммами Фейнмана ) более ясной, часто бывает удобно разделить действие следующим образом: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{2}}\varphi ^{i}D_{ij}^{-1}\varphi ^{j}+S_{\text{int}}[\varphi ],}$

где первый член — квадратичная часть и является обратимым симметричным (антисимметричным для фермионов) ковариантным тензором ранга два в нотации ДеВитта , обратный которому называется голым пропагатором и является «действием взаимодействия». Тогда мы можем переписать уравнения SD как ${\displaystyle D^{-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S_{\text{int}}[\varphi ]}$

${\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\varphi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{{\text{int}},i}D^{ij}\}|\psi \rangle .}$

Если является функционалом от , то для оператора , определяется как оператор, который заменяет . Например, если ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F[K]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n})}$

и является функционалом , тогда ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

Если у нас есть « аналитический » (функция, которая локально задана сходящимся степенным рядом) функционал (называемый производящим функционалом ) (называемого исходным полем ), удовлетворяющий ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\rangle ,}$

тогда из свойств функциональных интегралов

${\displaystyle {\left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[\varphi \right]+J(x)\right\rangle }_{J}=0,}$

Уравнение Швингера–Дайсона для производящего функционала имеет вид

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0.}$

Если разложить это уравнение в ряд Тейлора по , то получим полный набор уравнений Швингера–Дайсона. ${\displaystyle J=0}$

Пример:φ4

Чтобы привести пример, предположим,

${\displaystyle S[\varphi ]=\int d^{d}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi (x)\partial _{\mu }\varphi (x)-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi (x)^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi (x)^{4}\right)}$

для действительного поля  φ .

Затем,

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \varphi (x)}}=-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi (x)-m^{2}\varphi (x)-{\frac {\lambda }{3!}}\varphi ^{3}(x).}$

Уравнение Швингера–Дайсона для этого конкретного примера выглядит следующим образом:

${\displaystyle i\partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]+im^{2}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}Z[J]-{\frac {i\lambda }{3!}}{\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}Z[J]+J(x)Z[J]=0}$

Обратите внимание, что поскольку

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x)^{3}}}}$

не является четко определенным, потому что

${\displaystyle {\frac {\delta ^{3}}{\delta J(x_{1})\delta J(x_{2})\delta J(x_{3})}}Z[J]}$

это распределение в

х ₁ , х ₂ и х ₃ ,

это уравнение необходимо регуляризировать .

В этом примере голый пропагатор D является функцией Грина для и, таким образом, система уравнений Швингера–Дайсона выглядит следующим образом: ${\displaystyle -\partial ^{\mu }\partial _{\mu }-m^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]={}&iD(x_{0},x_{1})+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{2}\,D(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{0})\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[6pt]={}&iD(x_{0},x_{1})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle +iD(x_{0},x_{2})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{3})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+iD(x_{0},x_{3})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\}\mid \psi \rangle \\[4pt]&{}+{\frac {\lambda }{3!}}\int d^{d}x_{4}\,D(x_{0},x_{4})\langle \psi \mid {\mathcal {T}}\{\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})\varphi (x_{3})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\varphi (x_{4})\}\mid \psi \rangle \end{aligned}}}$

и т. д.

(Если не происходит спонтанного нарушения симметрии , нечетные корреляционные функции исчезают.)

Смотрите также

• Функциональная ренормгруппа
• Уравнение Дайсона
• Формулировка интеграла по траектории
• Исходное поле

Ссылки

1. Ф. Дайсон (1949). «S-матрица в квантовой электродинамике». Phys. Rev. 75 ( 11): 1736. Bibcode :1949PhRv...75.1736D. doi :10.1103/PhysRev.75.1736.
2. J. Schwinger (1951). "О функциях Грина квантованных полей I + II". PNAS . 37 (7): 452–459. Bibcode :1951PNAS...37..452S. doi : 10.1073/pnas.37.7.452 . PMC 1063400 . PMID  16578383. 

Дальнейшее чтение

Не так много книг, посвященных уравнениям Швингера–Дайсона. Вот три стандартных источника:

• Клод Ициксон, Жан-Бернард Зубер (1980). Квантовая теория поля . McGraw-Hill . ISBN 9780070320710.
• RJ Rivers (1990). Методы интегралов по траекториям в квантовых теориях поля . Cambridge University Press.
• VP Nair (2005). Квантовая теория поля: современная перспектива . Springer.

Есть несколько обзорных статей о приложениях уравнений Швингера–Дайсона с приложениями к специальным областям физики. Для приложений к квантовой хромодинамике есть

• R. Alkofer и L. v.Smekal (2001). "Об инфракрасном поведении функций Грина QCD". Phys. Rep . 353 (5–6): 281. arXiv : hep-ph/0007355 . Bibcode : 2001PhR...353..281A. doi : 10.1016/S0370-1573(01)00010-2. S2CID  119411676.
• CD Roberts и AG Williams (1994). "Уравнения Дайсона-Швингера и их приложения к физике адронов". Prog. Part. Nucl. Phys . 33 : 477–575. arXiv : hep-ph/9403224 . Bibcode :1994PrPNP..33..477R. doi :10.1016/0146-6410(94)90049-3. S2CID  119360538.