Уравнение состояния Ми – Грюнайзена

Уравнение состояния Ми-Грюнайзена представляет собой уравнение состояния , которое связывает давление и объем твердого тела при заданной температуре. ^{[1] [2]} Применяется для определения давления в ударно -сжатом твердом теле. Соотношение Ми-Грюнайзена представляет собой особую форму модели Грюнайзена , которая описывает влияние изменения объема кристаллической решетки на ее колебательные свойства. Используются несколько вариантов уравнения состояния Ми – Грюнайзена.

Модель Грюнайзена можно выразить в виде

${\displaystyle \Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}}$

где V — объем, p — давление, e — внутренняя энергия , а Γ — параметр Грюнайзена, который представляет собой тепловое давление набора колеблющихся атомов. Если мы предположим, что Γ не зависит от p и e , мы можем интегрировать модель Грюнайзена, чтобы получить

${\displaystyle p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0})}$

где и – давление и внутренняя энергия в исходном состоянии, обычно подразумеваемом состоянием, при котором температура равна 0 К. В этом случае p ₀ и e ₀ не зависят от температуры и значения этих величин можно оценить из уравнений Гюгонио . Уравнение состояния Ми – Грюнайзена представляет собой специальную форму приведенного выше уравнения. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

История

Густав Ми в 1903 году разработал межмолекулярный потенциал для вывода высокотемпературных уравнений состояния твердых тел. ^[3] В 1912 году Эдуард Грюнайзен расширил модель Ми до температур ниже температуры Дебая , при которых квантовые эффекты становятся важными. ^[4] Форма уравнений Грюнайзена более удобна и стала обычной отправной точкой для вывода уравнений состояния Ми – Грюнайзена. ^[5]

Выражения для уравнения состояния Ми – Грюнайзена

Версия с температурной поправкой, которая используется в вычислительной механике, имеет вид ^{[6] [7] : 61}

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi \left[1-{\frac {\Gamma _{0}}{2}}\,\chi \right]}{\left(1-s\chi \right)^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \chi :=1-{\cfrac {\rho _{0}}{\rho }}}$

где – объемная скорость звука, – начальная плотность, – плотность тока, – гамма-гамма Грюнайзена в исходном состоянии, – линейный коэффициент наклона Гюгонио, – скорость ударной волны, – скорость частицы, – внутренняя энергия на единицу единица эталонного объема. Альтернативная форма: ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle s=dU_{s}/dU_{p}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}(\eta -1)\left[\eta -{\frac {\Gamma _{0}}{2}}(\eta -1)\right]}{\left[\eta -s(\eta -1)\right]^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \eta :={\cfrac {\rho }{\rho _{0}}}\,.}$

Грубую оценку внутренней энергии можно вычислить, используя

${\displaystyle E={\frac {1}{V_{0}}}\int C_{v}dT\approx {\frac {C_{v}(T-T_{0})}{V_{0}}}=\rho _{0}c_{v}(T-T_{0})}$

где – эталонный объем при температуре , – теплоемкость и – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Во многих симуляциях предполагается, что и равны. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle T=T_{0}}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{v}}$

Параметры для различных материалов

Вывод уравнения состояния

Из модели Грюнайзена мы имеем

где и – давление и внутренняя энергия в исходном состоянии. Уравнения Гюгонио сохранения массы, импульса и энергии имеют вид ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}U_{s}&=\rho (U_{s}-U_{p})\,,\\[1ex]p_{H}-p_{H0}&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{aligned}}}$

где ρ ₀ — эталонная плотность, ρ — плотность вследствие ударного сжатия, p _H — давление на гюгонио, E _H — внутренняя энергия на единицу массы на гюгонио, U _s — скорость ударной волны, а U _p — скорость частицы. Из закона сохранения массы имеем

${\displaystyle {\frac {U_{p}}{U_{s}}}=1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}=1-{\frac {V}{V_{0}}}=:\chi \,.}$

Где мы определили удельный объем (объем на единицу массы). ${\displaystyle V=1/\rho }$

Для многих материалов U s _и Up линейно _{связаны} , т. е. U _s = C _{0 +} s Up , где C ₀ и s зависят от материала. В таком случае мы имеем

${\displaystyle U_{s}=C_{0}+s\chi U_{s}\quad {\text{or}}\quad U_{s}={\frac {C_{0}}{1-s\chi }}\,.}$

Тогда уравнение количества движения можно записать (для главного Гюгонио, где p _H0 равно нулю) как

${\displaystyle p_{H}=\rho _{0}\chi U_{s}^{2}={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

Аналогично, из уравнения энергии имеем

${\displaystyle p_{H}\chi U_{s}={\tfrac {1}{2}}\rho \chi ^{2}U_{s}^{3}+\rho _{0}U_{s}E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,.}$

Решая для e _H , мы имеем

${\displaystyle E_{H}={\tfrac {1}{2}}{\frac {p_{H}\chi }{\rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)}$

С этими выражениями для p _H и E _H модель Грюнайзена для Гюгонио становится

${\displaystyle p_{H}-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left({\frac {p_{H}\chi V_{0}}{2}}-e_{0}\right)\quad {\text{or}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\frac {\chi }{2}}\,{\frac {\Gamma }{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\Gamma }{V}}e_{0}\,.}$

Если предположить, что Γ/ V = ​​Γ ₀ / V ₀ , и отметить, что , получим ${\displaystyle p_{0}=-de_{0}/dV}$

Приведенное выше обыкновенное дифференциальное уравнение можно решить для e ₀ с начальным условием e ₀ = 0, когда V = V ₀ ( χ = 0). Точное решение

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}={\frac {\rho C_{0}^{2}V_{0}}{2s^{4}}}{\Biggl [}&\exp(\Gamma _{0}\chi )\left({\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-(3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{aligned}}}$

где Ei[ z ] — экспоненциальный интеграл . Выражение для p0 _:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}=-{\frac {de_{0}}{dV}}={\frac {\rho C_{0}^{2}}{2s^{4}(1-\chi )}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi )^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2}(1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0}-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,.\end{aligned}}}$

Графики e0 и p0 _{для меди как} функции χ .

Для часто встречающихся задач сжатия приближением к точному решению является решение степенного ряда вида

${\displaystyle e_{0}(V)=A+B\chi (V)+C\chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots }$

и

${\displaystyle p_{0}(V)=-{\frac {de_{0}}{dV}}=-{\frac {de_{0}}{d\chi }}\,{\frac {d\chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,.}$

Подстановка в модель Грюнайзена дает нам уравнение состояния Ми – Грюнайзена.

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,.}$

Если мы предположим, что внутренняя энергия e ₀ = 0, когда V = V ₀ ( χ = 0 ), мы имеем A = 0. Аналогично, если мы предположим, что p ₀ = 0, когда V = V ₀ , мы имеем B = 0. Тогда уравнение состояния Грюнайзена можно записать как

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E}$

где E — внутренняя энергия единицы эталонного объема. Возможны несколько форм этого уравнения состояния.

Сравнение точного уравнения состояния Ми–Грюнайзена первого порядка и уравнения состояния меди.

Если мы возьмем член первого порядка и подставим его в уравнение ( 2 ), мы сможем найти C , чтобы получить

${\displaystyle C={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}V_{0}}{2(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

Тогда мы получим следующее выражение для p :

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,.}$

Это обычно используемое уравнение состояния Ми – Грюнайзена первого порядка. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Удар (механика)
• Ударная волна
• Удар (механика)
• Ударная трубка
• Гидростатический удар
• Вязкопластичность

Рекомендации

1. Робертс, Дж. К., и Миллер, А. Р. (1954). Теплота и термодинамика (Том 4). Издательство Интерсайенс.
2. Бурштейн, А.И. (2008). Введение в термодинамику и кинетическую теорию вещества. Вайли-ВЧ.
3. Ми, Г. (1903) "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Аннален дер Физик 316.8, с. 657-697.
4. Грюнайзен, Э. (1912). Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Аннален дер Физик, 344(12), 257-306.
5. Лемонс, Д.С., и Лунд, СМ (1999). Термодинамика высоких температур, твердые тела Ми–Грюнайзена. Американский журнал физики, 67, 1105.
6. Зохер, Массачусетс; Модлин, П.Дж. (2000), «Оценка нескольких моделей упрочнения с использованием данных об ударном воздействии цилиндра Тейлора», Конференция: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНЫХ НАУКАХ И ТЕХНИКЕ, БАРСЕЛОНА (ES), 11.09.2000-14.09.2000 , OSTI  764004
7. Уилкинс, М.Л. (1999), Компьютерное моделирование динамических явлений , получено 12 мая 2009 г.
8. Митчелл, AC; Неллис, У.Дж. (1981), «Ударное сжатие алюминия, меди и тантала», Журнал прикладной физики , 52 (5): 3363, Bibcode : 1981JAP....52.3363M, doi : 10.1063/1.329160, заархивировано из оригинал 23 февраля 2013 г. , получено 12 мая 2009 г.
9. Макдональд, РА; Макдональд, В.М. (1981), «Термодинамические свойства ГЦК-металлов при высоких температурах», Physical Review B , 24 (4): 1715–1724, Bibcode : 1981PhRvB..24.1715M, doi : 10.1103/PhysRevB.24.1715