Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона

Уравнение общей теории относительности

В физике , в частности в общей теории относительности , уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона описывают движение массивного вращающегося тела, движущегося в гравитационном поле . Другие уравнения с похожими названиями и математическими формами — это уравнения Матиссона–Папапетру и уравнения Папапетру–Диксона . Все три набора уравнений описывают одну и ту же физику.

Они названы в честь М. Матиссона , ^[1] В. Г. Диксона , ^[2] и А. Папапетру . ^[3]

В данной статье используются естественные единицы измерения c = G = 1 и обозначение тензорного индекса .

Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона

Уравнения Матиссона–Папапетру–Диксона (МПД) для вращающегося тела имеют вид ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Dk_{\nu }}{D\tau }}+{\frac {1}{2}}S^{\lambda \mu }R_{\lambda \mu \nu \rho }V^{\rho }&=0,\\{\frac {DS^{\lambda \mu }}{D\tau }}+V^{\lambda }k^{\mu }-V^{\mu }k^{\lambda }&=0.\end{aligned}}}$

Вот собственное время вдоль траектории, это четырехимпульс тела ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

${\displaystyle k_{\nu }=\int _{t={\text{const}}}{T^{0}}_{\nu }{\sqrt {g}}d^{3}x,}$

вектор - это 4-скорость некоторой точки отсчета в теле, а кососимметричный тензор - это момент импульса ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle S^{\mu \nu }=\int _{t={\text{const}}}\left\{\left(x^{\mu }-X^{\mu }\right)T^{0\nu }-\left(x^{\nu }-X^{\nu }\right)T^{0\mu }\right\}{\sqrt {g}}d^{3}x}$

тела относительно этой точки. В интегралах временного среза мы предполагаем, что тело достаточно компактно, чтобы мы могли использовать плоские координаты внутри тела, где тензор энергии-импульса отличен от нуля. ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

В их нынешнем виде существует только десять уравнений для определения тринадцати величин. Эти величины — шесть компонентов , четыре компонента и три независимых компонента . Поэтому уравнения должны быть дополнены тремя дополнительными ограничениями, которые служат для определения того, какая точка тела имеет скорость . Матисон и Пирани изначально решили наложить условие , которое, хотя и включает четыре компонента, содержит только три ограничения, поскольку тождественно равно нулю. Это условие, однако, не приводит к единственному решению и может привести к загадочным «винтовым движениям». ^[4] Условие Тульчиева–Диксона действительно приводит к единственному решению, поскольку оно выбирает точку отсчета как центр масс тела в системе отсчета, в которой его импульс равен . ${\displaystyle S^{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle (k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)}$

Приняв условие Тульчиева–Диксона , мы можем преобразовать второе из уравнений MPD в форму ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle {\frac {DS_{\lambda \mu }}{D\tau }}+{\frac {1}{m^{2}}}\left(S_{\lambda \rho }k_{\mu }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}+S_{\rho \mu }k_{\lambda }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}\right)=0,}$

Это форма переноса Ферми–Уокера спинового тензора вдоль траектории – но сохраняющая ортогональность к вектору импульса, а не к касательному вектору . Диксон называет это М-переносом . ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности
• Уравнение геодезической
• Псевдовектор Паули–Любанского
• Тестовая частица
• Релятивистский момент импульса
• Центр масс (релятивистский)

Ссылки

Примечания

1. М. Матиссон (1937). «Система материалов Neue Mechanik». Акта Физика Полоника . Том. 6. С. 163–209.
2. WG Dixon (1970). «Динамика протяженных тел в общей теории относительности. I. Импульс и угловой момент». Proc. R. Soc. Lond. A. 314 ( 1519): 499–527. Bibcode :1970RSPSA.314..499D. doi :10.1098/rspa.1970.0020. S2CID  119632715.
3. А. Папапетру (1951). «Вращающиеся тестовые частицы в общей теории относительности. I». Proc. R. Soc. Lond. A. 209 ( 1097): 248–258. Bibcode : 1951RSPSA.209..248P. doi : 10.1098/rspa.1951.0200. S2CID  121464697.
4. LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). «Mathisson's helical movements demystified». AIP Conf. Proc . Труды конференции AIP. 1458 : 367–370. arXiv : 1206.7093 . Bibcode :2012AIPC.1458..367C. doi :10.1063/1.4734436. S2CID  119306409.

Избранные статьи

• C. Chicone; B. Mashhoon; B. Punsly (2005). «Релятивистское движение вращающихся частиц в гравитационном поле». Physics Letters A. 343 ( 1–3): 1–7. arXiv : gr-qc/0504146 . Bibcode : 2005PhLA..343....1C. doi : 10.1016/j.physleta.2005.05.072. hdl : 10355/8357. S2CID  56132009.
• N. Messios (2007). «Вращающиеся частицы в пространстве-времени с кручением». International Journal of Theoretical Physics . Общая теория относительности и гравитация. 46 (3). Springer: 562–575. Bibcode :2007IJTP...46..562M. doi :10.1007/s10773-006-9146-8. S2CID  119514028.
• D. Singh (2008). «Аналитический подход к возмущениям для классической динамики вращающихся частиц». International Journal of Theoretical Physics . Общая теория относительности и гравитация. 40 (6). Springer: 1179–1192. arXiv : 0706.0928 . Bibcode : 2008GReGr..40.1179S. doi : 10.1007/s10714-007-0597-x. S2CID  7255389.
• LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). «Mathisson's helical movements demystified». AIP Conf. Proc . Труды конференции AIP. 1458 : 367–370. arXiv : 1206.7093 . Bibcode :2012AIPC.1458..367C. doi :10.1063/1.4734436. S2CID  119306409.
• RM Plyatsko (1985). "Добавление условия Пирани к уравнениям Матиссона-Папапетру в поле Шварцшильда". Журнал советской физики . 28 (7). Springer: 601–604. Bibcode :1985SvPhJ..28..601P. doi :10.1007/BF00896195. S2CID  121704297.
• RR Lompay (2005). «Вывод уравнений Матиссона-Папапетру из релятивистской псевдомеханики». arXiv : gr-qc/0503054 .
• Р. Пляцко (2011). «Могут ли уравнения Матиссона-Папапетру дать ключ к решению некоторых проблем астрофизики?». arXiv : 1110.2386 [gr-qc].
• M. Leclerc (2005). "Уравнения Матиссона-Папапетру в метрических и калибровочных теориях гравитации в лагранжевой формулировке". Классическая и квантовая гравитация . 22 (16): 3203–3221. arXiv : gr-qc/0505021 . Bibcode :2005CQGra..22.3203L. doi :10.1088/0264-9381/22/16/006. S2CID  2569951.
• Р. Пляцко; О. Стефанишин; М. Феник (2011). "Уравнения Матиссона-Папапетру-Диксона на фоне Шварцшильда и Керра". Классическая и квантовая гравитация . 28 (19): 195025. arXiv : 1110.1967 . Bibcode :2011CQGra..28s5025P. doi :10.1088/0264-9381/28/19/195025. S2CID  119213540.
• Р. Пляцко; О. Стефанишин (2008). "О совместных решениях уравнений Матиссона при различных условиях". arXiv : 0803.0121 . Bibcode :2008arXiv0803.0121P. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• RM Plyatsko; AL Vynar; Ya. N. Pelekh (1985). "Условия возникновения гравитационного ультрарелятивистского спин-орбитального взаимодействия". Soviet Physics Journal . 28 (10). Springer: 773–776. Bibcode :1985SvPhJ..28..773P. doi :10.1007/BF00897946. S2CID  119799125.
• К. Свирскас; К. Пирагас (1991). «Сферически-симметричные траектории спиновых частиц в поле Шварцшильда». Астрофизика и космическая наука . 179 (2). Springer: 275–283. Bibcode :1991Ap&SS.179..275S. doi :10.1007/BF00646947. S2CID  120108333.