Уравнение Рейнольдса

Дифференциальное уравнение, описывающее распределение давления тонких вязких жидкостей

В механике жидкости (в частности, теории смазки ) уравнение Рейнольдса представляет собой уравнение в частных производных , определяющее распределение давления в тонких пленках вязкой жидкости . Впервые оно было получено Осборном Рейнольдсом в 1886 году. ^[1] Классическое уравнение Рейнольдса можно использовать для описания распределения давления практически в любом типе подшипников с жидкостной пленкой ; тип подшипника, в котором ограничивающие тела полностью разделены тонким слоем жидкости или газа.

Общее использование

Общее уравнение Рейнольдса:

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

Где:

• ${\displaystyle p}$– давление пленки жидкости.
• ${\displaystyle x}$и – координаты ширины и длины подшипника. ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle z}$– координата толщины пленки жидкости.
• ${\displaystyle h}$– толщина пленки жидкости.
• ${\displaystyle \mu }$вязкость жидкости.
• ${\displaystyle \rho }$плотность жидкости.
• ${\displaystyle u,v,w}$– скорости ограничивающего тела соответственно . ${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle a,b}$— индексы, обозначающие верхнее и нижнее ограничивающие тела соответственно.

Уравнение можно использовать либо с согласованными единицами измерения, либо в безразмерном виде .

Уравнение Рейнольдса предполагает:

• Жидкость ньютоновская .
• Силы вязкости жидкости преобладают над силами инерции жидкости. В этом и заключается принцип числа Рейнольдса .
• Силы жидкостного тела незначительны.
• Изменение давления в пленке жидкости пренебрежимо мало (т.е. ) ${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=0}$
• Толщина пленки жидкости намного меньше ширины и длины, поэтому эффекты кривизны незначительны. (т.е. и ). ${\displaystyle h\ll l}$ ${\displaystyle h\ll w}$

Для некоторых простых геометрических форм подшипников и граничных условий уравнение Рейнольдса можно решить аналитически. Однако часто уравнение приходится решать численно. Часто это включает в себя дискретизацию геометрической области, а затем применение конечного метода — часто FDM , FVM или FEM .

Вывод из Навье-Стокса

Полный вывод уравнения Рейнольдса из уравнения Навье-Стокса можно найти в многочисленных учебниках по смазочным материалам. ^{[2] [3]}

Решение уравнения Рейнольдса

В общем, уравнение Рейнольдса необходимо решать с использованием численных методов, таких как метод конечных разностей или метод конечных элементов. Однако в некоторых упрощенных случаях можно получить аналитические или приближенные решения. ^[4]

Для случая твердой сферы с плоской геометрией, стационарного случая и граничных условий полузоммерфельдовой кавитации двумерное уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Такое решение предложил лауреат Нобелевской премии Петр Капица . Было показано, что граничное условие полузоммерфельда является неточным, и это решение следует использовать с осторожностью.

В случае одномерного уравнения Рейнольдса доступно несколько аналитических или полуаналитических решений. В 1916 г. Мартин получил решение замкнутой формы ^[5] для минимальной толщины пленки и давления для жесткого цилиндра и плоской геометрии. Это решение не является точным для случаев, когда упругая деформация поверхностей вносит существенный вклад в толщину пленки. В 1949 году Грубин получил приближенное решение ^[6] так называемой задачи о контакте линии упруго-гидродинамической смазки (ЭГС), в которой он объединил упругую деформацию и гидродинамическое течение смазки. В этом решении предполагалось, что профиль давления соответствует решению Герца . Таким образом, модель точна при высоких нагрузках, когда гидродинамическое давление имеет тенденцию быть близким к контактному давлению Герца. ^[7]

Приложения

Уравнение Рейнольдса используется для моделирования давления во многих приложениях. Например:

• Шарикоподшипники
• Воздушные подшипники
• Опорные подшипники
• Пленочные демпферы в авиационных газовых турбинах.
• Тазобедренные и коленные суставы человека
• Смазанные контакты шестерни

Адаптация уравнения Рейнольдса — модель среднего расхода

В 1978 году Патир и Ченг представили модель среднего потока ^{[8] [9]} , которая модифицирует уравнение Рейнольдса для учета влияния шероховатости поверхности на смазываемые контакты. Модель среднего потока охватывает режимы смазки, при которых поверхности расположены близко друг к другу и/или соприкасаются. В модели среднего потока применяются «коэффициенты потока», чтобы настроить, насколько легко смазочному материалу течь в направлении скольжения или перпендикулярно ему. Они также представили условия корректировки расчета контактного сдвига. В этих режимах топография поверхности направляет поток смазки, что, как было показано, влияет на давление смазки и, следовательно, на разделение поверхностей и контактное трение. ^[10]

Было предпринято несколько заметных попыток учесть дополнительные детали контакта при моделировании пленок жидкости в контактах. Лейтон и др. ^[10] представили метод определения коэффициентов потока, необходимых для модели среднего потока с любой измеряемой поверхности. Харп и Салент ^[11] расширили модель среднего потока, рассмотрев кавитацию между выступами. Ченгвэй и Линьцин ^[12] использовали анализ распределения вероятности высоты поверхности, чтобы удалить один из наиболее сложных членов из среднего уравнения Рейнольдса и заменить его коэффициентом потока, называемым коэффициентом контактного потока, . Нолл и др. рассчитаны коэффициенты текучести с учетом упругой деформации поверхностей. Мэн и др. ^{В [13]} также рассматривалась упругая деформация контактирующих поверхностей. ${\displaystyle d{\bar {h_{T}}}/dh}$ ${\displaystyle \phi _{h}}$

Работа Патира и Ченга стала предшественником исследований текстурирования поверхности смазываемых контактов. Демонстрация того, как крупномасштабные элементы поверхности создают микрогидродинамическую подъемную силу для разделения пленок и уменьшения трения, но только тогда, когда условия контакта поддерживают это. ^[14]

Модель среднего потока Патира и Ченга ^{[8] [9]} часто сочетается с моделью взаимодействия шероховатых поверхностей Гринвуда и Триппа ^[15] для моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей в нагруженных контактах. ^{[10] [16]}

Рекомендации

1. Рейнольдс, О. (1886). «О теории смазки и ее применении к экспериментам г-на Бошампа Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла». Философские труды Лондонского королевского общества . 177 . Королевское общество: 157–234. дои : 10.1098/rstl.1886.0005. JSTOR  109480. S2CID  110829869.
2. Хэмрок, Бернард Дж.; Шмид, Стивен Р.; Джейкобсон, Бо О. (2004). Основы жидкостной пленочной смазки. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-5371-9.
3. Шери, Андрас З. (2010). Жидкостная пленочная смазка. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89823-2.
4. «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение». Tribonet.org . 12 ноября 2016 г. Проверено 10 сентября 2019 г.
5. Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса». Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
6. Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного переходного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)». Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
7. Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). «Контактный калькулятор Hertz». Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
8. Патир, Надир; Ченг, HS (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий . 100 (1): 12. дои : 10.1115/1.3453103. ISSN  0022-2305.
9. Патир, Надир; Ченг, HS (1 апреля 1979 г.). «Применение модели среднего потока к смазке между шероховатыми поверхностями скольжения». Журнал смазочных технологий . 101 (2): 220–229. дои : 10.1115/1.3453329. ISSN  0022-2305.
10. Лейтон; и другие. (2016). «Коэффициенты текучести для конкретной поверхности для прогнозирования трения заштрихованных поверхностей». Топография поверхности: метрология и свойства . 4 (2): 025002. doi : 10.1088/2051-672x/4/2/025002 . S2CID  111631084.
11. Арфа, Сьюзен Р.; Салант, Ричард Ф. (17 октября 2000 г.). «Модель среднего потока смазки для шероховатой поверхности с кавитацией между неровностями». Журнал трибологии . 123 (1): 134–143. дои : 10.1115/1.1332397. ISSN  0742-4787.
12. Ву, Ченгвэй; Чжэн, Линьцин (1 января 1989 г.). «Среднее уравнение Рейнольдса для частичной пленочной смазки с контактным коэффициентом». Журнал трибологии . 111 (1): 188–191. дои : 10.1115/1.3261872. ISSN  0742-4787.
13. Мэн, FM; Ван, WZ; Ху, Ю.З.; Ван, Х (1 июля 2007 г.). «Численный анализ комбинированного влияния межшероховатой кавитации и упругой деформации на коэффициенты текучести». Труды Института инженеров-механиков, Часть C: Журнал машиностроительной науки . 221 (7): 815–827. дои : 10.1243/0954406jmes525. ISSN  0954-4062. S2CID  137022386.
14. Моррис, Н.; Лейтон, М; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х; Хауэлл-Смит, С. (17 ноября 2014 г.). «Комбинированное численное и экспериментальное исследование микрогидродинамики текстурированных рисунков на основе шевронов, влияющих на контактное трение скользящих контактов». Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 229 (4): 316–335. дои : 10.1177/1350650114559996 . ISSN  1350-6501. S2CID  53586245.
15. Гринвуд, Дж.А.; Трипп, Дж. Х. (июнь 1970 г.). «Контакт двух номинально плоских шероховатых поверхностей». Труды Института инженеров-механиков . 185 (1): 625–633. дои : 10.1243/pime_proc_1970_185_069_02. ISSN  0020-3483.
16. Лейтон, М; Николлс, Т; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х (12 декабря 2016 г.). «Перспектива комбинированной системы смазка-поверхность: многомасштабное численно-экспериментальное исследование». Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 231 (7): 910–924. дои : 10.1177/1350650116683784 . ISSN  1350-6501. S2CID  55438508.