Уравнения для падающего тела

Набор уравнений, описывающих траектории объектов, подверженных постоянной гравитационной силе в нормальных земных условиях. Предполагая постоянное ускорение g из-за земного тяготения, закон всемирного тяготения Ньютона упрощается до F = mg , где F — сила, действующая на массу m гравитационным полем Земли напряженностью g . Предположение о постоянном g разумно для объектов, падающих на Землю с относительно коротких вертикальных расстояний нашего повседневного опыта, но недействительно для больших расстояний, используемых при расчете более отдаленных эффектов, таких как траектории космических аппаратов.

История

Галилей был первым, кто продемонстрировал, а затем сформулировал эти уравнения. Он использовал пандус для изучения катящихся шаров, пандус замедлял ускорение достаточно, чтобы измерить время, необходимое шару для того, чтобы прокатиться на известное расстояние. ^[1]^[2] Он измерял прошедшее время с помощью водяных часов , используя «чрезвычайно точные весы» для измерения количества воды. ^{[примечание 1]}

Уравнения игнорируют сопротивление воздуха, которое оказывает драматическое влияние на объекты, падающие с заметного расстояния в воздухе, заставляя их быстро приближаться к конечной скорости . Влияние сопротивления воздуха сильно варьируется в зависимости от размера и геометрии падающего объекта — например, уравнения безнадежно неверны для пера, которое имеет малую массу, но оказывает большое сопротивление воздуху. (В отсутствие атмосферы все объекты падают с одинаковой скоростью, как продемонстрировал астронавт Дэвид Скотт , сбросив молоток и перо на поверхность Луны . )

Уравнения также игнорируют вращение Земли, не описывая , например, эффект Кориолиса . Тем не менее, они обычно достаточно точны для плотных и компактных объектов, падающих с высоты, не превышающей самые высокие искусственные сооружения.

Обзор

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения $g$ = 9,807 м/с ² ( метров в секунду в квадрате , что можно рассматривать как «метры в секунду в секунду»; или 32,18 фута/с ² как «футы в секунду в секунду») приблизительно. Необходим согласованный набор единиц для $g$ , $d$ , $t$ и $v$ . Если принять единицы СИ , $g$ измеряется в метрах в секунду в квадрате, поэтому $d$ должно измеряться в метрах, $t$ в секундах, а $v$ в метрах в секунду.

Во всех случаях предполагается, что тело находится в состоянии покоя, а сопротивление воздуха не учитывается. Как правило, в атмосфере Земли все приведенные ниже результаты будут весьма неточными уже через 5 секунд падения (в это время скорость объекта будет немного меньше вакуумного значения 49 м/с (9,8 м/с ² × 5 с) из-за сопротивления воздуха). Сопротивление воздуха вызывает силу сопротивления на любом теле, которое падает в любой атмосфере, отличной от идеального вакуума, и эта сила сопротивления увеличивается со скоростью, пока не сравняется с силой тяготения, в результате чего объект будет падать с постоянной конечной скоростью .

Конечная скорость зависит от сопротивления атмосферы, коэффициента сопротивления объекта, (мгновенной) скорости объекта и площади, подвергаемой воздействию воздушного потока.

Помимо последней формулы, эти формулы также предполагают, что $g$ пренебрежимо мало меняется с высотой во время падения (то есть они предполагают постоянное ускорение). Последнее уравнение более точно, когда значительные изменения дробного расстояния от центра планеты во время падения вызывают значительные изменения $g$ . Это уравнение встречается во многих приложениях базовой физики.

Следующие уравнения исходят из общих уравнений линейного движения:

$d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}$

$v(t)=v_{0}+at$

и уравнение всемирного тяготения (r+d= расстояние объекта над землей от центра масс планеты):

F=G{{мМ} \over {(r+d)^{2}}}=мг

Уравнения

Пример

Первое уравнение показывает, что за одну секунду объект упадет на расстояние 1/2 × 9,8 × 1 ² = 4,9 м. За две секунды он упадет на 1/2 × 9,8 × 2 ² = 19,6 м; и так далее. С другой стороны, предпоследнее уравнение становится крайне неточным на больших расстояниях. Если объект упал с высоты 10 000 м до Земли, то результаты обоих уравнений отличаются всего на 0,08 %; однако, если он упал с геосинхронной орбиты , которая составляет 42 164 км, то разница изменяется почти до 64 %.

Например, исходя из сопротивления ветра, конечная скорость парашютиста в положении свободного падения животом к земле (т. е. лицом вниз) составляет около 195 км/ч (122 мили в час или 54 м/с). Эта скорость является асимптотическим предельным значением процесса ускорения, поскольку эффективные силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга все больше и больше по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50 % от конечной скорости достигается всего за 3 секунды, в то время как для достижения 90 % требуется 8 секунд , для достижения 99 % — 15 секунд и т. д.

Более высокие скорости могут быть достигнуты, если парашютист подтянет свои конечности (см. также свободный полет ). В этом случае конечная скорость увеличивается примерно до 320 км/ч (200 миль/ч или 90 м/с), что почти равно конечной скорости пикирующего на добычу сокола-сапсана . Такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06, падающей вниз — когда она возвращается на землю после выстрела вверх или падения с башни — согласно исследованию Армии США 1920 года.

Для астрономических тел, отличных от Земли , и для коротких высот падения на уровне, отличном от «земли», $g$ в приведенных выше уравнениях можно заменить на , где $G$ — гравитационная постоянная , $M$ — масса астрономического тела, $m$ — масса падающего тела, а $r$ — радиус от падающего объекта до центра астрономического тела. ${\frac {G(M+m)}{r^{2}}}$

Устранение упрощающего предположения о равномерном гравитационном ускорении дает более точные результаты. Из формулы для радиальных эллиптических траекторий находим :

Время $t$ , необходимое для падения объекта с высоты $r$ на высоту $x$ , измеренное от центров двух тел, определяется по формуле:

t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}

где — сумма стандартных гравитационных параметров двух тел. Это уравнение следует использовать всякий раз, когда есть существенная разница в гравитационном ускорении во время падения. Обратите внимание, что когда это уравнение дает , как и ожидалось; и когда оно дает , что является временем до столкновения. $\mu =G(M+m)$ $x=r$ $т=0$ $х=0$ $t={\frac {\pi}{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu}}}$

Ускорение относительно вращающейся Земли

Центростремительная сила приводит к тому, что ускорение, измеренное на вращающейся поверхности Земли, отличается от ускорения, измеренного для свободно падающего тела: кажущееся ускорение во вращающейся системе отсчета равно полному вектору силы тяжести за вычетом малого вектора по направлению к оси север-юг Земли, что соответствует пребыванию в неподвижном состоянии в этой системе отсчета.

Смотрите также

De motu antiquiora и Две новые науки (самые ранние современные исследования движения падающих тел)
Уравнения движения
Свободное падение
Гравитация
Теорема о средней скорости , основа закона падения тел
Радиальная траектория

Примечания

^ См. работы Стиллмана Дрейка , где представлено всестороннее исследование Галилея и его времени, научной революции .

Ссылки

^ Йесперсен, Джеймс; Фиц-Рэндольф, Джейн. От солнечных часов к часам: понимание времени и частоты (PDF) . Монография Национального института стандартов и технологий 155 (отчет) (редакция 1999 г.). Управление технологий Министерства торговли США и Национальный институт стандартов и технологий. стр. 188–190.
^ MacDougal, DW (2012). "Глава 2 - Великое открытие Галилея: как падают вещи". Гравитация Ньютона: Вводное руководство по механике Вселенной, Конспект лекций для студентов по физике (PDF) . Нью-Йорк: Springer Science+Business Media. doi :10.1007/978-1-4614-5444-1_2.

Внешние ссылки

Калькулятор уравнений падающего тела