Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов посредством уравнений Максвелла , ЭФЭ связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для заданное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE как набор нелинейных уравнений в частных производных при таком использовании. Решения ЭФЭ являются компонентами метрического тензора. Инерционные траектории частиц и излучения ( геодезические ) в полученной геометрии затем рассчитываются с использованием уравнения геодезических .
Помимо сохранения локальной энергии-импульса, EFE сводится к закону гравитации Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . [4]
где R µν — тензор кривизны Риччи , а R — скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, зависящий только от метрического тензора и его первой и второй производных.
Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется как [6] [7]
В стандартных единицах измерения каждый член слева имеет единицы измерения 1/длина 2 .
Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определенную метрикой; выражение справа представляет собой содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. Тогда EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.
Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в n измерениях. [9] Уравнения, не относящиеся к общей теории относительности, до сих пор называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные, когда T µν всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .
Уравнения сложнее, чем кажутся. При заданном распределении материи и энергии в виде тензора энергии-импульса под ЭФЭ понимаются уравнения для метрического тензора , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. В полностью написанном виде EFE представляет собой систему десяти связанных нелинейных гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . [10]
Соглашение о подписании
Вышеуказанная форма EFE является стандартом, установленным Миснером, Торном и Уилером (MTW). [11] Авторы проанализировали существующие конвенции и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):
Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:
Используя эти определения, Миснер, Торн и Уилер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) [12] - (+ - -) , Пиблс (1980) [13] и Эфстатиу и др. (1990) [14] являются (- + +) , Rindler (1977), [ нужна ссылка ] Этуотер (1974), [ нужна ссылка ] Collins Martin & Squires (1989) [ 15] и Peacock (1999) [16] (- + -) .
Авторы, в том числе Эйнштейн, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части становится отрицательным:
Знак космологического термина изменился бы в обеих этих версиях, если бы использовалось соглашение о метрических знаках (+ - - -), а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +) .
Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращенным следом может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда вас интересует предел слабого поля и можно заменить в выражении справа метрикой Минковского без значительной потери точности).
Затем Эйнштейн отказался от Λ , заметив Георгию Гамову , что «введение космологического термина было величайшей ошибкой в его жизни». [17]
Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно считалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого необходимо положительное значение Λ . [18] [19] Космологическая постоянная незначительна в масштабе галактики или меньше.
Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но ее член в уравнении поля также можно алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:
Этот тензор описывает состояние вакуума с плотностью энергии ρ vac и изотропным давлением p vac , которые являются фиксированными константами и определяются выражением
Λ−2κ
Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.
Функции
Сохранение энергии и импульса
Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса, выраженным как
Вывод локального закона сохранения энергии-импульса.
Определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что
который можно переписать как
Окончательное сжатие с g εδ дает
что в силу симметрии члена в квадратных скобках и определения тензора Эйнштейна дает после переобозначения индексов
Используя EFE, это сразу дает:
что выражает локальное сохранение энергии-напряжения. Этот закон сохранения является физическим требованием. С помощью своих уравнений поля Эйнштейн обеспечил соответствие общей теории относительности этому условию сохранения.
Ньютоновскую гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое представляет собой гравитационный потенциал гравитационного поля в джоулях на килограмм g = −∇Φ , см. закон Гаусса для гравитации.
где ρ — массовая плотность. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет
В тензорной записи они становятся
В общей теории относительности эти уравнения заменяются уравнениями поля Эйнштейна в форме с обращенным следом.
Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы примерно равна нулю.
и поэтому
и что метрика и ее производные приблизительно статичны, а квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает
где два факторадт/dτбыли разделены. Это приведет к его ньютоновскому аналогу при условии, что
Наши предположения заставляют α = i и производные по времени (0) равняться нулю. Таким образом, это упрощает
который удовлетворяется, позволяя
Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужна только временная составляющая
предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что
Так
и поэтому
Из определения тензора Риччи
Наши упрощающие предположения приводят к исчезновению квадратов Γ вместе с производными по времени
Объединив приведенные выше уравнения вместе
что сводится к уравнению ньютоновского поля при условии
что произойдет, если
Уравнения вакуумного поля
Если тензор энергии-импульса T µν равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называются уравнениями вакуумного поля . Установив T µν = 0 в уравнениях поля с обращенными следами, уравнения вакуумного поля, также известные как «вакуумные уравнения Эйнштейна» (EVE), можно записать как
В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид
Решения уравнений поля Эйнштейна являются метриками пространства -времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, их не всегда можно решить полностью (т.е. без приближений). Например, не существует известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которым является, например, теоретическая модель двойной звездной системы). Однако в таких случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Несмотря на это, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точными решениями . [9]
Исследование точных решений уравнений поля Эйнштейна — одно из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .
Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом. [22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Сюй и Уэйнрайт, [23] автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками результирующей динамической системы . Новые решения с помощью этих методов были обнаружены Лебланом [24] , Кохли и Хасламом. [25]
Линеаризованный EFE
Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в том, чтобы сделать приближение, а именно, что вдали от источника(ов) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эту процедуру линеаризации можно использовать для исследования явлений гравитационного излучения .
Полиномиальная форма
Несмотря на то, что EFE в том виде, в каком он записан, содержит инверсию метрического тензора, их можно расположить в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать
Подстановка этого выражения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих частей на подходящую степень det( g ) , чтобы исключить его из знаменателя, приводит к полиномиальным уравнениям в метрическом тензоре и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также можно записать в полиномиальной форме путем подходящих переопределений полей. [26]
^ аб Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности». Аннален дер Физик . 354 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е. дои : 10.1002/andp.19163540702. Архивировано из оригинала ( PDF ) 6 февраля 2012 г.
↑ Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). «Die Feldgleichungen der Gravitation». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 г.
^ Миснер, Торн и Уилер (1973), с. 916 [гл. 34].
^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия. Введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 151–159. ISBN0-8053-8732-3.
^ Грён, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 180. ИСБН978-0-387-69200-5.
^ При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, κ = 8 πG / c 4 , тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем , что эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбрано κ = 8 πG / c 2 , и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.
^ Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN0-07-000423-4. ОСЛК 1046135.
^ Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Винтаж Пресс. стр. 107, 233. ISBN.0-09-922391-0.
^ Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли «самая большая ошибка» Эйнштейна звездным успехом?». Новости@УофТ . Университет Торонто. Архивировано из оригинала 7 марта 2007 г.
^ Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Межд. Дж. Мод. Физ. А. _ 17 (С1): 180–196. arXiv : astro-ph/0202008 . Бибкод : 2002IJMPA..17S.180T. дои : 10.1142/S0217751X02013113. S2CID 16669258.
^ Браун, Харви (2005). Физическая относительность. Издательство Оксфордского университета. п. 164. ИСБН978-0-19-927583-0.
^ Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2013). «Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели Бьянки типа I». Физ. Преподобный Д. 88 (6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Бибкод : 2013PhRvD..88f3518K. doi : 10.1103/physrevd.88.063518. S2CID 119178273.
^ Катанаев, М.О. (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Генерал Отл. Грав . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc/0507026 . Бибкод : 2006GReGr..38.1233K. дои : 10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID 6263993.