Усиленный сплошной

Рисунок 1: Маленький куб материала с арматурными стержнями. Куб треснул, и материал над трещиной удален, чтобы показать арматуру, пересекающую трещину.

В механике твердого тела армированное тело — это хрупкий материал, армированный пластичными стержнями или волокнами. Распространенное применение — армированный бетон . Когда бетон трескается, растягивающее усилие в трещине переносится уже не бетоном, а только стальными арматурными стержнями. Армированный бетон будет продолжать нести нагрузку при условии наличия достаточного армирования. Типичная задача проектирования — найти наименьшее количество армирования, которое может нести напряжения на небольшом кубе (рис. 1). Это можно сформулировать как задачу оптимизации .

Проблема оптимизации

Армирование направлено в направлении x, y и z. Коэффициент армирования определяется в поперечном сечении арматурного стержня как площадь армирования по отношению к общей площади , которая представляет собой площадь хрупкого материала плюс площадь армирования. ${\displaystyle A_{r}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho _{x}}$= / ${\displaystyle A_{rx}}$ ${\displaystyle A_{x}}$

${\displaystyle \rho _{y}}$= / ${\displaystyle A_{ry}}$ ${\displaystyle A_{y}}$

${\displaystyle \rho _{z}}$= / ${\displaystyle A_{rz}}$ ${\displaystyle A_{z}}$

В случае железобетона коэффициенты армирования обычно составляют от 0,1% до 2%. Предел текучести арматуры обозначается как . Тензор напряжений хрупкого материала равен ${\displaystyle f_{y}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$.

Это можно интерпретировать как тензор напряжений композитного материала за вычетом напряжений, переносимых арматурой при текучести. Эта формулировка точна для коэффициентов армирования менее 5%. Предполагается, что хрупкий материал не имеет предела прочности на растяжение. (В случае железобетона это предположение необходимо, поскольку бетон имеет небольшие усадочные трещины.) Поэтому главные напряжения хрупкого материала должны быть сжатием. Главные напряжения тензора напряжений являются его собственными значениями .

Задача оптимизации формулируется следующим образом. Минимизировать + + при условии, что все собственные значения тензора напряжений хрупкого материала меньше или равны нулю ( отрицательно-полуопределенные ). Дополнительные ограничения ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0. ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Решение

Решение этой задачи можно представить в форме, наиболее подходящей для ручных вычислений. ^{[1] [2]} Его можно представить в графической форме. ^[3] Его также можно представить в форме, наиболее подходящей для компьютерной реализации. ^{[4] [5]} В этой статье показан последний метод.

Существует 12 возможных решений подкрепления этой проблемы, которые показаны в таблице ниже. Каждая строка содержит возможное решение. Первый столбец содержит номер решения. Второй столбец дает условия, при которых решение является допустимым. Столбцы 3, 4 и 5 дают формулы для расчета коэффициентов подкрепления.

${\displaystyle I_{1}}$, и являются инвариантами напряжений тензора напряжений композитного материала. ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Алгоритм получения правильного решения прост. Вычислите коэффициенты армирования каждого возможного решения, которое удовлетворяет условиям. Далее игнорируйте решения с коэффициентом армирования меньше нуля. Вычислите значения + + и выберите решение, для которого это значение наименьшее. Главные напряжения в хрупком материале можно вычислить как собственные значения тензора напряжений хрупкого материала, например, методом Якоби . ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Формулы можно просто проверить, подставив коэффициенты армирования в тензор напряжений хрупкого материала и вычислив инварианты. Первый инвариант должен быть меньше или равен нулю. Второй инвариант должен быть больше или равен нулю. Они обеспечивают условия в столбце 2. Для решения 2–12 третий инвариант должен быть равен нулю. ^[3]

Примеры

В таблице ниже приведены расчетные коэффициенты армирования для 10 тензоров напряжений. Приложенный предел текучести арматуры = 500 Н/мм². Массовая плотность арматурных стержней составляет 7800 кг/м ³ . В таблице приведен расчетный предел прочности хрупкого материала. — оптимизированное количество армирования. ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}}$ ${\displaystyle m_{r}}$

Подробные контурные диаграммы для балок, консольного выступа, свайного ростверка и цапфовой фермы можно найти в диссертации Рейнальдо Чена. ^[6]

Безопасное приближение

Решение задачи оптимизации можно приблизить консервативно.

${\displaystyle \rho _{x}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|}$

${\displaystyle \rho _{y}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|}$

${\displaystyle \rho _{z}f_{y}}$≤ ${\displaystyle \sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|}$

Это можно доказать следующим образом. Для этой верхней границы характеристический полином тензора напряжений хрупкого материала равен

${\displaystyle \lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$,

который не имеет положительных корней или собственных значений.

Приближение легко запомнить и его можно использовать для проверки или замены результатов вычислений.

Расширение

Вышеуказанное решение может быть очень полезным для проектирования арматуры; однако оно имеет некоторые практические ограничения. Следующие аспекты могут быть также включены, если проблема решается с использованием выпуклой оптимизации :

• Несколько тензоров напряжений в одной точке из-за нескольких нагрузок на конструкцию вместо одного тензора напряжений
• Ограничение, накладываемое на ширину трещин на поверхности конструкции
• Напряжение сдвига в трещине (замковое соединение заполнителей)
• Армирование в направлениях, отличных от x, y и z
• Арматурные стержни, которые уже были размещены в процессе проектирования армирования
• Вся конструкция вместо одного небольшого материального кубика в свою очередь
• Большие коэффициенты армирования
• Армирование компрессией

Бары в любом направлении

Арматурные стержни могут иметь другие направления, нежели направления x, y и z. В случае стержней в одном направлении тензор напряжений хрупкого материала вычисляется по формуле

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

где — углы стержней с осями x, y и z. Стержни в других направлениях можно добавлять таким же образом. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

Использование

Часто строители железобетонных конструкций знают по опыту, где размещать арматурные стержни. Компьютерные инструменты могут помочь в этом, проверив, достаточно ли предложенного армирования. Для этого критерий натяжения,

Собственные значения должны быть меньше или равны нулю. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$

переписывается в,

Собственные значения должны быть меньше или равны единице. ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$

Последняя матрица является тензором использования. Наибольшее собственное значение этого тензора является использованием (проверка на единство), которое может быть отображено на контурном графике конструкции для всех комбинаций нагрузок, связанных с предельным состоянием по несущей способности .

Например, напряжение в некотором месте конструкции = 4 Н/мм², = -10 Н/мм², = 3 Н/мм², = 3 Н/мм², = -7 Н/мм², = 1 Н/мм². Предел текучести арматуры = 500 Н/мм². Предлагаемая арматура = 1,4%, = 0,1%, = 1,9%. Собственные значения тензора использования равны -20,11, -0,33 и 1,32. Использование равно 1,32. Это показывает, что стержни перегружены и требуется на 32% больше арматуры. ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xz}}$ ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle \rho _{x}}$ ${\displaystyle \rho _{y}}$ ${\displaystyle \rho _{z}}$

Совместное разрушение бетона при сжатии и сдвиге можно проверить с помощью критерия Мора-Кулона, примененного к собственным значениям тензора напряжений хрупкого материала.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}}$≤ 1,

где — наибольшее главное напряжение, — наименьшее главное напряжение, — прочность на одноосное сжатие (отрицательное значение), — фиктивная прочность на растяжение, основанная на экспериментах по сжатию и сдвигу. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{t}}$

Трещины в бетоне можно проверить, заменив предел текучести в тензоре использования на напряжение стержня, при котором возникает максимальная ширина трещины. (Это напряжение стержня зависит также от диаметра стержня, расстояния между стержнями и защитного слоя стержня .) Очевидно, что ширину трещин необходимо проверять только на поверхности конструкции для напряженных состояний из-за комбинаций нагрузок, связанных с предельным состоянием эксплуатационной пригодности . ${\displaystyle f_{y}}$

Смотрите также

• Железобетон
• Механика твёрдого тела
• Строительная инженерия

Ссылки

1. Андреасен Б.С., Нильсен MP, Armiering af beton I det tredimesionale tilfælde, Bygningsstatiske meddelelser, Vol. 5 (1985), № 2–3, стр. 25–79 (на датском языке).
2. Нильсен М.П., ​​Хоанг Л.К., Предельный анализ и пластичность бетона, третье издание, CRC Press, 2011.
3. Foster SJ, Marti P., Mojsilovic N., Проектирование железобетонных конструкций с использованием анализа напряжений, ACI Structural Journal, ноябрь-декабрь 2003 г., стр. 758-764.
4. Hoogenboom PCJ, Де Бур А., «Расчет арматуры для твердого бетона», Heron, Vol. 53 (2008), № 4. С. 247-271.
5. Hoogenboom PCJ, De Boer A., ​​«Вычисление оптимального армирования бетона в трех измерениях», Труды EURO-C 2010, Вычислительное моделирование бетонных конструкций, стр. 639-646, редакторы Bicanic et al. Издатель CRC Press, Лондон.
6. Чэнь Р., Проектирование железобетонных конструкций на основе трехмерных полей напряжений, диссертация, Университет Сан-Паулу, Escola Politécnica, 2024