Условная зависимость

Байесовская сеть, иллюстрирующая условную зависимость

В теории вероятностей условная зависимость — это связь между двумя или более событиями , которые зависят друг от друга при наступлении третьего события. ^{[1] [2]} Например, если и — два события, которые по отдельности увеличивают вероятность третьего события и не влияют друг на друга напрямую, то изначально (когда не наблюдалось, произошло событие или нет) ^{[3] [4]} ( являются независимыми). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}$$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$

Но предположим, что сейчас наблюдается возникновение. Если событие происходит, то вероятность возникновения события уменьшится, поскольку его положительная связь с менее необходима для объяснения возникновения (аналогично, возникновение события уменьшит вероятность возникновения ). Следовательно, теперь два события и условно отрицательно зависят друг от друга, поскольку вероятность возникновения каждого из них отрицательно зависит от того, произойдет ли другое. Мы имеем ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).}$$

Условная зависимость A и B при наличии C является логическим отрицанием условной независимости . ^[6] При условной независимости два события (которые могут быть зависимыми или нет) становятся независимыми при наличии третьего события. ^[7] ${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)}$

Пример

По сути, вероятность зависит от информации человека о возможном возникновении события. Например, пусть событие будет «У меня новый телефон»; событие будет «У меня новые часы»; и событие будет «Я счастлив»; и предположим, что наличие либо нового телефона, либо новых часов увеличивает вероятность того, что я буду счастлив. Предположим, что событие произошло – то есть «Я счастлив». Теперь, если другой человек увидит мои новые часы, он/она посчитает, что вероятность того, что я буду счастлив, увеличилась из-за моих новых часов, поэтому меньше необходимости приписывать мое счастье новому телефону. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Чтобы сделать пример более численно конкретным, предположим, что в средних четырех столбцах следующей таблицы приведены четыре возможных состояния, в которых наступление события обозначено в строке , а его ненаступление обозначено и аналогично для и То есть, и Вероятность равна для каждого ${\displaystyle \Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},}$ ${\displaystyle C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle i.}$

и так

В этом примере происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из . Безусловно (то есть без ссылки на ), и независимы друг от друга, потому что —сумма вероятностей, связанных с a в строке —равна, пока Но при условии, что произошло (последние три столбца в таблице), мы имеем , пока Поскольку при наличии вероятность зависит от наличия или отсутствия и взаимно зависят при условии ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).}$$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C.}$

Смотрите также

• Условная независимость  – Концепция теории вероятностей
• Теорема де Финетти  – Условная независимость взаимозаменяемых наблюдений
• Условное ожидание  – ожидаемое значение случайной величины при условии, что известны определенные условия.

Ссылки

1. Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 «Unit 3: Conditional Dependence» ^{[ постоянная неработающая ссылка ]}
2. Введение в изучение байесовских сетей на основе данных Дирка Хусмейера [1] ^{[ постоянная нерабочая ссылка ]} "Введение в изучение байесовских сетей на основе данных - Дирк Хусмейер"
3. Условная независимость в статистической теории "Условная независимость в статистической теории", AP Dawid" Архивировано 27.12.2013 на Wayback Machine
4. Вероятностная независимость на Britannica "Вероятность->Применение условной вероятности->независимость (уравнение 7)"
5. Введение в искусственный интеллект Себастьяна Труна и Питера Норвига, 2011 г. «Unit 3: Explaining Away» ^{[ постоянная неработающая ссылка ]}
6. Bouckaert, Remco R. (1994). "11. Условная зависимость в вероятностных сетях". В Cheeseman, P.; Oldford, RW (ред.). Выбор моделей из данных, искусственный интеллект и статистика IV . Конспект лекций по статистике. Том 89. Springer-Verlag . С. 101–111, особенно 104. ISBN 978-0-387-94281-0.
7. Условная независимость в статистической теории "Условная независимость в статистической теории", AP Dawid Архивировано 27.12.2013 на Wayback Machine