Скорость, с которой фаза волны распространяется в пространстве
Фазовая скорость волны — это скорость , с которой волна распространяется в любой среде . Это скорость , с которой движется фаза любой частотной составляющей волны. Для такого компонента любая данная фаза волны (например, гребень ) будет двигаться с фазовой скоростью. Фазовая скорость выражается через длину волны λ (лямбда) и период времени T как
Чтобы получить некоторое представление об этом уравнении, мы рассмотрим распространяющуюся (косинусную) волну A cos( kx − ωt ) . Мы хотим увидеть, как быстро распространяется определенная фаза волны. Например, мы можем выбрать kx - ωt = 0 , фазу первого гребня. Отсюда следует, что kx = ωt , и поэтому v = x / t = ω / k .
Формально положим фазу φ = kx - ωt и сразу увидим, что ω = -dφ/d t и k = dφ/d x . Итак, сразу следует, что
Предыдущее определение фазовой скорости было продемонстрировано для изолированной волны. Однако такое определение можно распространить на биение волн или на сигнал, состоящий из нескольких волн. Для этого необходимо математически записать ритм или сигнал как огибающую низкой частоты, умножающую несущую. Таким образом, фазовая скорость несущей определяет фазовую скорость волнового набора. [3]
Групповая скорость
Групповая скорость совокупности волн определяется как
Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны «огибающей», а также волны «несущей», которая лежит внутри огибающей. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для отправки данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусных) волн f(x, t) с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.
Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей, образованной f 1 и несущей, образованной f 2 . Скорость огибающей волны мы называем групповой скоростью. Мы видим, что фазовая скорость f 1 равна
В непрерывном дифференциальном случае это становится определением групповой скорости.
Показатель преломления
В контексте электромагнетики и оптики частота — это некоторая функция ω ( k ) волнового числа, поэтому в целом фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью vp известно как показатель преломления , n = c / v p = ck / ω .
Таким образом, мы можем получить другую форму групповой скорости для электромагнетизма. Записывая n = n (ω) , быстрый способ получить эту форму — наблюдать
Затем мы можем переставить приведенное выше, чтобы получить
Из этой формулы мы видим, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты . В этом случае среду называют недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где от частоты ω зависят различные свойства среды . Это соотношение известно как дисперсионное соотношение среды.