Золотая спираль

Самоподобная кривая, связанная с золотым сечением

Золотые спирали самоподобны . Форма бесконечно повторяется при увеличении.

В геометрии золотая спираль — это логарифмическая спираль , коэффициент роста которой равен φ , золотому сечению . ^[1] То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз за каждую четверть оборота, которую она совершает.

Приближения золотой спирали

Приблизительные и истинные золотые спирали: зеленая спираль сделана из четвертей окружности, касательных к внутренней части каждого квадрата, в то время как красная спираль является золотой спиралью, особым типом логарифмической спирали . Перекрывающиеся части кажутся желтыми . Длина стороны большего квадрата к следующему меньшему квадрату находится в золотом отношении . Для квадрата со стороной длиной 1, следующий меньший квадрат имеет ширину 1/φ . Следующая ширина составляет 1/φ² , затем 1/φ³ и так далее.

Существует несколько сопоставимых спиралей, которые приближаются к золотой спирали, но не полностью ей соответствуют. ^[2]

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, сначала начав с прямоугольника , для которого отношение между его длиной и шириной является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разбить на квадрат и подобный прямоугольник, а затем этот прямоугольник можно разделить таким же образом. После продолжения этого процесса в течение произвольного количества шагов результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертями окружностей . Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью , близко приближается к золотой спирали. ^[2]

Другое приближение — это спираль Фибоначчи , которая строится немного иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом шаге к прямоугольнику добавляется квадрат, длина которого равна длине самой длинной стороны прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению по мере того, как числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится все более похожей на предыдущее приближение по мере добавления большего количества квадратов, как показано на изображении.

Спирали в природе

Иногда ошибочно утверждается, что спиральные галактики и раковины наутилусов расширяются по образцу золотой спирали, и, следовательно, связаны как с φ, так и с рядом Фибоначчи. ^[3] По правде говоря, многие раковины моллюсков , включая раковины наутилусов, демонстрируют рост по логарифмической спирали, но под разными углами, обычно заметно отличающимися от угла золотой спирали. ^{[4] [5] [6]} Хотя спиральные галактики часто моделировались как логарифмические спирали, архимедовы спирали или гиперболические спирали , их углы наклона изменяются в зависимости от расстояния от центра галактики, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не меняется), а также в противоречии с другими математическими спиралями, используемыми для их моделирования. ^[7] Филлотаксис , модель роста растений, в некоторых случаях связан с золотым сечением, поскольку он включает в себя последовательные листья или лепестки, разделенные золотым углом . Хотя иногда это может быть связано со спиральными формами, такими как головки семян подсолнечника ^[8], они более тесно связаны со спиралями Ферма , чем с логарифмическими спиралями. ^[9]

Математика

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с помощью дуг в форме четверти окружности, вписанных в квадраты, полученные из последовательности Фибоначчи .

Золотая спираль с начальным радиусом 1 представляет собой геометрическое место точек полярных координат, удовлетворяющих правилу золотого сечения , где — золотое сечение. ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Полярное уравнение для золотой спирали такое же, как и для других логарифмических спиралей , но со специальным значением фактора роста b : ^[10] или с e , являющимся основанием натуральных логарифмов , a , являющимся начальным радиусом спирали, и b, таким, что когда θ представляет собой прямой угол (четверть оборота в любом направлении): $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ $${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$ $${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

Следовательно, b определяется как $${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

Спираль Лукаса приближается к золотой спирали, когда ее члены велики, но не когда они малы. Включены 10 членов от 2 до 76.

Числовое значение b зависит от того, измеряется ли прямой угол в 90 градусах или в радианах ; и поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего записать формулу для абсолютного значения b (то есть b может быть также отрицательным значением этого значения): для θ в градусах или для θ в радианах. ^[11] ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$ $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали — ^[12] , где константа c задается выражением , которое для золотой спирали дает значения c , если θ измеряется в градусах, и если θ измеряется в радианах. ^[13] $${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$ $${\displaystyle c=e^{b}}$$ $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$ $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$

По отношению к логарифмическим спиралям золотая спираль обладает отличительным свойством, заключающимся в том, что для четырех коллинеарных точек спирали A , B , C , D, принадлежащих аргументам θ , θ + π , θ + 2π , θ + 3π, точка C является проективным гармоническим сопряжением B относительно A , D , т. е. перекрестное отношение ( A , D ; B , C ) имеет сингулярное значение −1. Золотая спираль является единственной логарифмической спиралью с ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

Полярный склон

Определение угла наклона и сектора

В полярном уравнении логарифмической спирали : параметр b связан с полярным углом наклона : $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

В золотой спирали, будучи постоянным и равным (для θ в радианах, как определено выше), угол наклона равен , если измеряется в градусах, или , если измеряется в радианах. ^[14] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$ $${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$ $${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$

Дополнительный угол в радианах или градусах — это угол, который образуют золотые спиральные рукава с линией, проведенной из центра спирали. $${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$ $${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$

Смотрите также

• Число Фибоначчи
• Золотой угол
• Золотое сечение
• Золотой прямоугольник
• Список спиралей
• Логарифмическая спираль

Ссылки

1. Чанг, Ю-сун, «Золотая спираль. Архивировано 28 июля 2019 г. на Wayback Machine », The Wolfram Demonstrations Project .
2. Madden, Charles B. (2005) [1999]. Фиб и Фи в музыке: Золотая пропорция музыкальной формы. High Art Press. С. 14–16. ISBN 978-0967172767.
3. Например, эти книги: Jan CA Boeyens (2009). Chemistry from First Principles. Springer. стр. 261. ISBN 9781402085451., Рассел Хауэлл и Джеймс Брэдли (2011). Математика глазами веры. HarperCollins. стр. 162. ISBN 978-0062024473., Чарльз Сейф (2000). Zero: Биография опасной идеи . Penguin. стр. 40. ISBN 978-0140296471., Сандра Кайнс (2008). Морская магия: соединение с энергией океана. Llewellyn Worldwide. стр. 100. ISBN 9780738713533., Брюс Бергер (1998). Эзотерическая анатомия: тело как сознание. North Atlantic Books. стр. 144. ISBN 9781556432248.
4. Дэвид Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона. John Wiley & Sons. стр. 188. ISBN 9780471270478.
5. Девлин, Кит (май 2007 г.). «Миф, который не исчезнет». Архивировано из оригинала 2020-11-12 . Получено 2013-12-09 .
6. Петерсон, Иварс (2005-04-01). "Sea Shell Spirals". Science News . Society for Science & the Public. Архивировано из оригинала 2012-10-03 . Получено 2011-10-08 .
7. Савченко, СС; Решетников, ВП (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла питча в спиральных галактиках». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
8. Ридли, Дж. Н. (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки в головках подсолнечника». Mathematical Biosciences . 58 (1): 129–139. doi :10.1016/0025-5564(82)90056-6.
9. Фогель, Хельмут (июнь 1979). «Лучший способ построить головку подсолнечника». Mathematical Biosciences . 44 (3–4): 179–189. doi :10.1016/0025-5564(79)90080-4.
10. Прия Хеменуэй (2005). Божественная пропорция: Φ Phi в искусстве, природе и науке . Sterling Publishing Co. стр. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
11. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A212225". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
12. Клаус Майнцер (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. Вальтер де Грюйтер. стр. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
13. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A212224". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
14. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A335605". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.